noch ein Kritiker

[Trigemina]

Sport am Sonntag, geleitet von zeitgenosse:

Die Ableitung von e^n ergibt wiederum e^n

Meinst du mit Knickfunktion die Stammfunktion der Dirac'schen Deltafunktion, also die Heaviside'sche Sprungfunktion: (d/dx) Θ(x) = δ(x) ?

Deren (1.) Ableitung ist die Heaviside-Funktion = Θ(x - ξ)
und die Dirac-Delta-Distribution = δ(x - ξ)


y' = tan(xy) nennst du eine einfache DGL?

Ich habe bei y'=tan(x*y) keine geschlossene Form gefunden. Diese DGL lässt sich implizit ausdrücken in komplexer Form:

C * (erf(1/2*sqrt(2)*(x+Iy)))^2 = 0

mit der Fehlerfunktion
erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x)

Gruss

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Die Gewalt ist genau das Problem, als dessen Lösung sie sich ausgibt.

[cfb]

[Aragorn]

[Trigemina]

[zeitgenosse]

Strengenommen, d.h. in mathematischem Sinne, handelt es sich bei den angegebenen regelungstechnischen Testfunktionen zur Überprüfung des Einschwing- und Übertragungsverhaltens eines Regelkreisgliedes um sog. Distributionen (verallgemeinerte Funktionen).

Die erste Ableitung der Knickfunktion K(x - ξ) erzeugt eine Heavisidefunktion Θ(x - ξ); auch Sprungfunktion genannt. Es lässt sich beweisen, dass diese zugleich Stammfunktion der wohlbekannten Dirac- oder Deltafunktion (technisch ein Nadelimpuls) ist:

(d/dx) Θ(x) = δ(x)

Im Zeitverlauf besitzt der Diracimpuls - unendlich schmal und unendlich hoch - folgende Form:

x(t) = X_o * δ(t)

Das Spektrum beinhaltet alle Frequenzen gleichermassen. Real betrachtet wird der "Diracstoss" normiert als schmaler Rechteckimpuls mit Fläche 1:

Int -oo bis oo für δ(x - ξ)dx = 1

Heaviside- und Knickfunktion sind an der Stelle t = 0 nicht definiert und somit auf analytischem Wege nicht lösbar. Anstelle dessen tritt eine Rechenvorschrift. Sehr schön dargestellt z.B. bei Schmutzer in "Mathematik - Ein Kompendium für Physiker".

Gr. zg
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Make everything as simple as possible, but not simpler!

[zeitgenosse]

[lazyjones]

zeitgenosse schrieb:

[cfb]

[Trigemina]

[cfb]

Falls es jemanden interessiert: Es gibt in Bezug auf "normale" Funktionen neben der Ableitung (wie man sie in der Schule lernt) und der Ableitung im distributiven Sinne (das womit Zeitgenosse die ganze Zeit rumfuchtelt) noch einen weiteren Ableitungsbegriff, die schwache Ableitung. Die ist definiert als:
Seien f und g Funktionen aus L^2, wenn für alle Testfunktionen \phi (C^\inf_0(I)) gilt
\int_I g(s) ds = - \int_I f(s) ds, dann heisst g schwache Ableitung von f.
(Kann man sich also als die Ableitung im "integralem Mittel" vorstellen.)

Für E-Techniker ist das nicht so wahnsinnig interessant, spielt ab in der Numerik von (partiellen) DGLen eine zentrale Rolle.

[zeitgenosse]

[cfb]

[Trigemina]

Hallo cfb

Die Delta-Distribution ist ein Operator, der einer Funktion f eine Zahl zuordnet nach der Vorschrift

δ_t0 (f) = f(t0), δ_t0

in dieser Distribution ist die Gesamtmasse im Punkt δ_t0 konzentriert.
Hierfür gibt es kein exaktes Integral, ist also strenggenommen falsch. Viele physikalische Anwendungen beruhen darauf, deren DGLn überhaupt erst zu lösen. Manchmal muss man das kleinere aller Übel vorziehen.

Gruss

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[zeitgenosse]

[zeitgenosse]