z^(n/m)-z0=0

[richy]

Hi Ralph

Danke fuer die Antwort. Ich glaube die Frac Methode entspricht nicht so ganz der klassischen Vorgehensweise. Ich nutze die Periodizitaeten in der Frac Funktion aus. frac(a/b*t) kann nicht gleich frac(b/a*t) sein, da die Funktion dann zwei Periodendauern, a und b aufweisen muesste.
Eine irrationale Zahl umgeht dies, da ihre Approximation als Bruch unendlich grosse Zaehler und Nenner darstellen wuerde. Sie hat die Periodendauer unendlich, ist damit gar nicht periodisch.

Aus den Vorueberlegung zu z^(n/m)-1=0 sieht man dies am anschaulichsten. frac(m/n)*2*Pi stellt die Argumente der Loesungen dar.

Spezielle Fallunterscheidungen benoetige ich gar nicht. Auch keine Mod Division.
Erfuellt eine Zahl x die Bedingung frac(x)=frac(1/x) ist sie irrational.
Falls ich nicht gerade nen groben Denkfehler eingebaut habe.

Wurzel 2 kann man so auch erschlagen, denn x=2+1/x hat die Loeseungen wurzel(2)+1 und 1-Wurzel(2)

Damit gilt: frac (Wurzel(2)+1)=frac( 1/(Wurzel(2)+1) )
und Wurzel(2)+1 muss irrational sein.

Hier noch bischen mehr dazu:

Zum Beispiel kann ich sofort anschreiben

Die Differenzengleichung x(k+1)=2+1/x(k),x0=1 konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
**********************************************************

Das ist aber noch nicht alles.
Die rechte Seite der DzGL stellt einen Kettenbruch dar. Den kann man sukzessive vereinfachen und stellt dann fest, dass Nenner und Zaehler aus einer modifizierten Fibonacci Folge gebildet werden, naemlich :

fib2(k+2)=2*fib2(k+1)+fib2(k), fib2(0)=1 fib2(1)=1
**************************************
Hier ein paar Zahlenwerte :
y1 := 1
y2 := 1
y3 := 3
y4 := 7
y5 := 17
y6 := 41
y7 := 99
y8 := 239
y9 := 577
y10:= 1393 ....

Satz:
a)
Der Grenzwert limit k->00, fib2(k+1)/fib2(k) konvergiert gegen 1+Wurzel(2)
**********************************************************
b)
Der Grenzwert limit k->00, (fib2(k+1)-fib2(k))/fib2(k) konvergiert gegen Wurzel(2)
**********************************************************


Beispielwerte :

Wurzel(2) etwa 4/3 = 1.333333
Wurzel(2) etwa 10/7 = 1.428571
Wurzel(2) etwa 24/17 = 1.411764
Wurzel(2) etwa 58/41 = 1.414634
Wurzel(2) etwa 140/99 = 1.414141
Wurzel(2) etwa 338/239 = 1.414225
Wurzel(2) etwa 816/577 = 1.414211
Wurzel(2) etwa 1970/1393 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 4756/3363 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 11482/8119 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 27720/19601 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 66922/47321 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 161564/114243 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 390050/275807 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 941664/665857 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 2273378/1607521 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 5488420/3880899 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 13250218/9369319 = 1.414213
Wurzel(2) etwa 31988856/22619537 = 1.414213

Kann man natuerlich beliebig verlaengern.
Natuerlich nichts grossartig Neues, aber immerhin
Waere mal interessant wie mit dieser Approximation die Funktion frac(sqrt(2)*k))
aussieht. Genauso ein Vergleich mit dem Newton Verfahren.

ciao
richy

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi Ralf

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi Ralf

Verstehe ich jetzt nicht. 0.33333... ist einfach 1/3. Unendlich viele Nachkommastellen, aber Zaehler und Nenner des Bruchs sind kleine Werte.
Fuer Wurzel(2) wachsen Zaehler und Nenner aber ueber alle Schranken.
In a/b*k sollen auch a,b,k element N sein.

z.B.
p/q= 31988856/ 22619537
Aber selbst das ist nur eine ungenaue Naeherung fuer Wurzel(2)
frac(p/q*k) wird fuer k= 22619537 wieder periodisch.
Und p/q erfuellt frac(p/q)=frac(q/p) eben nicht exakt.
Und wie du siehst interessiert mich an den Nachkommastellen nur die Bedingung, dass sie gleich sind.

Ich stelle mal ein paar frac(a/b*k) Funktionen hier rein, dann wird es vielleicht deutlicher was ich mit Periodizitaet meine. Einfach f(k)=f(k+n) fuer alle k.

Viele Greusse
richy

[richy]

@ Ralph
Ist mit deinem mathematischen Grundverstaendnis alles ok ?
Zweifle nicht daran, aber wundere mich schon bischen.
Zu frac(x)=frac (1/x)
Der Grundgedanke ist doch total billig. Ok, wenn man
es sich genauer veranschaulichen will, wird es komplexwertig.
Die Loesung von Euklid ist mir aber einfach zu lang und zu langweilig.
Eine konkrete Anwendung habe ich nicht vor. Dennoch:
Waere schoen wenn du meinen Beweis nachvollziehen koenntest.

Vieleicht enthaelt mein Beweis auch einen Fehler.
Ansonsten waere der ja einfacher als der von Euklid.
Und unterhaltsamer als das Geschwafel von Jl, Herrn z bei quanten.de,
dem rechtsradikalen Physikus Herrn Alex.
Naja ihr muesst wissen fuer wen und was ihr eure Zeit verschwendet

@Ralph
Kannst du eine Loesung fuer die logistische Gleichung angeben ?
Sicherlich nicht.
Ich kann wenigsten eine Loesung angeben .

Naja, es gibt ja auch noch andere Foren.
Viel Spass noch mit Jl hier
ciao

... und natuerlich ist Phi die irrationalste Zahl im Sinne ener Bruchapproximation.
Lebst du hinter dem Mond ?

[ralfkannenberg]

[zeitgenosse]

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi Ralph
Entschuldigung fuer einige Stellen im letzten Beitrag.
Es aergert mich eben bischen, dass fuer Anti-RT so viel mehr Diskussionszeit aufgewendet als fuer Themen die mich interessieren.
Danke, dass du trotzdem dich um meine Fragestellung gekuemmert hast.

> wenn ich das alles haarklein nachrechnen soll, bin ich Stunden damit beschäftigt.

Vielleicht auch nurmeine Verzweiflung , weil es doch gar nicht viel zu rechnen gibt und ich den Sachverhalt blos noch nicht richtig erklaeren konnte

Zu Euklid:
Ich meine der uebliche Beweis sqrt(2) irrational ist von Euklid.
http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahlen

[richy]

Hier noch einmal die Grundidee:

Periodendauer p:
Addiere ich p zum Argument einer Funktion wiederholt sich die Funktion:
f(k)=f(k+p)

Hilfsfragen:
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(a/b*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(b/a*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Unter welchen Bedingungen fuer a,b kann die Funktion frac(a/b*k) zwei Periodendauern a und b aufweisen ?

[zeitgenosse]

[richy]

Hi zg
Das Verblueffende ist eben, dass die diskrete Version der logistischen DGL sich voellig anders verhaelt als die kontinuierliche.
y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k)) ist auch nicht die genaue diskretisierte Form der logistischen DGL. y'(k) muesste man z.B durch einen Differenzialoperator 1.Ordnung ersetzen: y(k+1)-y(k)
Am Ergebnis wuerde das aber wenig aendern.
Die Namens-Konvention ist wie folgt :
analog: Logistisches Wachstum,. logistische DGL
diskret: Verhulst Gleichung, logistische Gleichung/Abbildung/Funktion


Interessant waere es mal meine Loesung fuer r=2 (ne andere gibt es ja meines Wissens leider nicht) mit der von dir Angegebenen Loesung der logistischen DGL zu vergleichen. Dazu waere es aber sachgemaesser
y(k+1)-y(k)=r*y(k)*(1-y(k)) also
y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k)) +y(k) zu betrachten
Ob ich hier mein Loesungsverfahren fuer einen Parameter r anwenden kann haengt von der Form der inversen also "Rueckwaertsiteration" ab.

solve(z=r*y*(1-y)+y,y);
solve(r^2+2*r+1-4*r*z=0,r);
r=-1+2*z+-2*(-z+z^2)^(1/2)
Koennte fuer z<0 oder z>1 funzen, wenn ich hier einen geeigneten Attraktor finde.
solve(r*z*(1-z)=0,z);
z=0,1.
z=0 ist nicht sinnvoll;
r(z=1)=1 ist auch nicht sinnvoll
Die Gleichung ist unloesbar

Danke fuer das Tauschangebot
Was meinst du mit "eigenem" ? Muss mal deinen Link studieren.
Ich verwende kein Fractal Programm, sondern programmiere solche Dinge immer selber. Fuer Maple gibt es nen raffinierten eleganten Trick.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/maple.txt
Den Code hat ein echter Programmierfreak gezaubert. Hut ab
Allerdings ist Maple natuerlich langsamer als C-Code.
Laeuft bei dir zuhause jetzt Maple ?

Kannst du meine Beweisidee eigentlich nachvollziehen ?

Am Rande,
Diese eigentuemliche Eigenschaft von Wurzel(5)
1/(Wurzel(5)-2)-(Wurzel(5)-2) ist "zufaelligerweise" genau vier
hab ich schon naeher untersucht. Natuerlich kein Zufall.


Hier noch die frac(x*k) Bilder. Wichtig: Die Funktion ist diskretisiert.
Die durchgezogenen Linien nur fuer die Darstellung.



Viele Gruesse
richy

BTW. Hatte einen Fehler
Statt Wurzel(2) hab ich in einem Thread Wurzelk(2)+2 approximiert
Ist korrigiert

[zeitgenosse]

So detailliert kenne ich mich in diesem Thema nicht aus.

Die eigentliche Verhulst-Gleichung wäre:

p_n+1 = p_n + a*p_n(1 - p_n) = (1 + a)p_n - a*p^2_n

Aber du stimmst zu, dass die (normierte) logistische Abbildung korrekt ist mit:

x_n+1= r * x_n(1 - x_n) ; das ist die übliche Schreibweise

Dadurch ist das Wachstum begrenzt, steigt also nicht über alle Grenzen wie beim exponentiellen Verlauf. Wird X (max. Population) erreicht, muss die Population sogar abnehmen.

Der Parameter r hat Einfluss auf die Dynamik.

r < 3 := konstantes Wachstum

r = 3,0 := 1. Bifurkation

r = 3,3 := zunächst Überschuss, dann Dezimierung, anschliessend Oszillation zwischen 2 Populationsgrössen

r < 3,544 := der 2-er Zyklus veerliert seine Stabilität, ein 4-er Zyklus tritt in den Vordergrund

r > 3,569945672 := chaotisches Verhalten

r = 4 := Existenz unendlich vieler (instabiler) periodischer Punkte im Einheitsintervall

Die leeren Streifen im Feigenbaum-Diagramm (z.B. 3,8 < r < 3,9) sind stabile "Inseln der Ordnung".

Eine wichtige Zahl im Kontext ist die Feigenbaumkonstante:

δ_n = (r_n - r_n-1)/(r_n+1 - r_n) ; für n --> oo δ = 4,669...

Sie ist charakteristisch für das Szenario der Periodenverdoppelung. Irgendwann ensteht ein Lorenz-System, irgendwann nur noch weisses Rauschen. Die Thematik ist unerschöpflich.

Auch für die senkrechten Abstände der Gabelenden im Feigenbaum-Diagramm besteht eine Beziehung:

lim n-->oo (a_n/a_n+1) = α = 2,5029...

α und δ sind transzendete Zahlen wie pi und e.

Neben der obigen logistischen Abbildung ist mir ferner die Hénon-Abbildung und die Zaslavskii-Abbildung bekannt. Es gäbe noch viel zu sagen. Ich finde gegenwärtig aber wenig Zeit, um mich vertieft damit zu befassen.

p.s. Maple läuft nur auf dem Notebook. Ich werde mich deshalb um eine Studentenversion bemühen. Trotzdem besten Dank für deine Hilfe.

Gr. zg
_________________
Make everything as simple as possible, but not simpler!

[richy]

Hi Zeitgenosse