z^(n/m)-z0=0

[Uli]

Oops ...
das war natürlich Blödsinn von mir ...

Uli

[richy]

@uli
Ja, in der Tat
und die Gleichung z^(2/3)=i hat auch tatsaechlich nur 2 Loesungen

Macht aber nichts. Denn dein Tipp war dennoch der entscheidende.
Und darueber bin ich heilfroh. Meine Probemethode war einfach falsch !
Darueber wird auch Lukas beruhigt sein
Bei mikes Argumentation stand ich leider noch auf der Leitung.

Und als Aufwandsentschaedigung werde ich hier noch paar Bilder reinstellen.
Ohne praktischen Hintergrund war meine Frage naemlich nicht.
Bilder der Loesungen von
z^(1/x)=z0 ( Zum Beispiel mit z0=i)
Diesmal soll x eine rationale Zahl sein oder auch eine irrationale.
Eine irrationale Zahl hat natuerlich keine Bruchdarstellung. Sie liefert
unendlich viele Loesungen.
Fuer x kann man aber Bruchdarstellungen spezieller irrationaler Zahlen wie Pi,e,goldener Schnitt einsetzen.
Denke die Bilder werden recht interessant sein.
Oder wenigstens huebsch anzusehen

Viele Gruesse

BTW:
Bischen skeptisch macht mich immer noch, dass MAPLE fuer m>n in der Regel keine Loesung angibt. (3/2 ist ein Ausnahmefall)
Mit dem Expo Ansatz kann ich aber Loesungen immer berechnen.

[Uli]

[richy]

Hi uli
Den Altersstarrsinn kenne ich. Der hat mich auch diesen Thread schreiben lassen. Neben dem Umstand, dass Maple in allen Teilen der Aufgabenstellung mit "solve() seltsamerweise voelig ueberfordert ist.
Den Loesungsweg ueber die Exp-Darstellung habe ich inclusive Probe als kleines Programm implementiert. Und, die Welt ist wieder in Ordnung.
z^(2/3)=i liefert 2 Loesungen und bei beiden geht eine der 3 Probeloesungen auf. Auch fuer andere Werte (5,3),(5,7),(11,9) ... gab es keine Loesung die die Probe nicht bestanden haette.
ciao
Noch mal vielen Dank fuer eure Hilfe

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi Ralph

[ralfkannenberg]

[ralfkannenberg]

Nun habe ich mir das also nochmals überlegt, möglich, dass ich immer noch etwas übersehen habe.

Diese Riemann'schen Blätter sind übrigens recht anspruchsvoll und Thema eines Seminars im Hauptstudium, also nach dem 5.Semester und meines Wissens keineswegs ein Pflichtfach, nur so am Rande bemerkt.

Fall 1: Sei m in IN, x^(1/m) = z

Das ist also die m-te Wurzel aus z. Wie ist diese definiert ?

Die m-te Wurzel aus x ist doch diejenige Zahl, die ich m-mal mit sich selber multiplizieren muss, um z zu erhalten.

Seid Ihr bis hierhin einverstanden ?

Wenn ja, dann gilt aber z^3 = x, also trivialerweise x = z^3.
Dies ist natürlich eindeutig.


Fall 2: Sei n in IN, x^(n) = z

Eine solche Gleichung kann man schreiben als x^n - z = 0; es ist also ein Polynom n-ten Grades und hat als solches im Körper der komplexen Zahlen genau n-Lösungen, wenn man die Vielfachheit pro Lösung mitzählt. Eine Vielfachheit = 2 liegt vor, wenn die erste Ableitung an dieser Stelle ebenfalls 0 wird und die zweite Ableitung an dieser Stelle von 0 verschieden ist; eine Vielfachheit = r liegt vor, wenn die r-1.te Ableitung an dieser Stelle ebenfalls = 0 ist und die r.te Ableitung an dieser Stelle von 0 verschieden ist. - Achtung: Ein Polynom hat mindestens einen von 0 verschiedenen Koeffizienten, so dass der Fall der Funktion, die identisch verschwindet, kein Polynom ist.

Falls z=1 ist, sind die n Lösungen gerade die Einheitswurzeln; eine davon ist die 1, die anderen sind gerade die anderen Ecken eines regelmässigen n-Ecks mit Mittelpunkt (0,0), das eine Ecke in (1,0) hat.

Ok, seid Ihr bis hierher einverstanden ?


Nun kommen wir zum allgemeinen Fall:

Fall 3: Seien m,n in IN, x^(n/m) = z

Hier stellt sich nun die Frage, wie man klammern soll:

(x^n)^(1/m) = z oder ((x^(1/m))^n

Ich vermute, in beiden Fällen bekommt man dieselbe Lösungsmenge, die wieder mit Vielfachheiten gezählt n Lösungen ergibt; aber das muss ich mir noch genauer anschauen.

Was meint Ihr ?

Freundliche Grüsse, Ralf

[richy]

Hi Ralf

[ralfkannenberg]

[richy]

Hi
Hatte gestern keine Zeit zu Antworten. Wir hatten nen Event mit Marshall und Alexander. Bin grad nach hause gekommen. Kannte die vorher auch nicht. Aber sehr empfehlenswert.

[richy]

z=z0^x , x element reelle Zahlen und die frac() Funktion
***********************************************
frac() soll die Nachkommastellen einer Funktion liefern.
Beispiel frac(7.1234)= 0.1234

Damit laesst sich das Argument der Zahl z0^x einfach berechnen.
Wie geht das ?
z0^x=|z0|^x exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))
Das ist eine Komplexe Zahl w mit folgendem Re und Im-Teil :
w=exp(i*x*(arg(z0)+k*2*Pi))=
cos(x*(arg(z0)+k*2*Pi))+i*sin(x*(arg(z0)+k*2*Pi))

Das Argument einer komplexen Zahl ist arctan(imaginaertei/realteil)
(Wobei der Quadrant beachtet werden muss.)
Wir erhalten fur arg(w) somit
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)+k*2*Pi)) )
**********************************

Nun ist arctan(tan(x)) nicht einfach x, denn tan(x) ist 2*PI periodisch.
Wir erhalten stattdessen eine 2*Pi periodische Saegezahnfunktion.
Und eine Saegezahnfunktion ist eine frac Funktion.
Anders ausgedrueckt :
Fuer arctan(tan(x*2*Pi) erhalten wir frac(x)*2*Pi
*****************************************
und damit :
arg(w)=arctan(tan (x*(arg(z0)/(2*Pi)+k)*2*Pi ) )

arg(w)=frac(x*(arg(z0)/(2*Pi)+k))*2*Pi
*********************************

Beispiele i^(1/3)

Mit arg(i)=Pi/2, x=1/3
k=0
frac(1/12)=1/12, arg(w)=Pi/6
k=1
frac(1/12+1/3)=frac(5/12)=5/12 arg(w)=5/6*Pi
k=2
frac(1/12+2/3)=frac(9/12)=frac(3/4)=3/4, arg(w)=3/2*Pi

In dem Fall hat dies bisher noch nicht so viel gebracht,
denn die frac Funktion kam gar nicht zur Anwendung.
Im Falle i^(3/2) waere dies anders. Ebenso wenn x irrational ist.

Anschauliche Deutung:
******************
Zur Vereinfachung kann man z0=1 setzten, arg=0
Wir erhalten :
arg(z)=frac(x*k)*2*Pi

Test oder eine ungewoehnlich Art z^2=1 zu loesen
arg1= (frac(0.5*0)*2*Pi=0 , z1=1
arg2= (frac(0.5*1)*2*Pi=Pi, z2=-1

Beispiel:
z**e=1
Es gibt unendlich viele Loesungen. Deren Betrag ist 1
Das Argument ist frac(k*e)*2*Pi
Ich multipliziere sukzessive e mit k und betrachte die Nachkommastellen.

Die erste Loesung (k) waere somit z=1
Das Argument der zweiten Loesung (e-2)*2*Pi ... e.t.c
Gut gell ))

Jo. Was gibt es zu den Nachkommastellen einer irrationalen Zahl zu sagen ?
Ausser dass man damit schlechte Zufallszahlengeneratoren bauen kann ?
Viele Gruesse.

@Ralf
Hab nochmal nachgedacht. Ich meine jetzt es gibt gar keine mehrfachen Loesungen fuer z^(n/m)=z0.
Es ist ja auch kein komplettes Polynom.

[richy]

... ich rechne einfach mal bischen weiter

KLEINE ANWENDUNGEN
*******************
Mit den bisherigen Ergebnissen kann man umgekehrt auch kleine Zusammenhaenge ueber die Fliesskommadarstellung von Bruechen herleiten. Dazu nuetzt man aus, dass fuer frac(x)=frac(y) auch gilt frac(x)*2*Pi=frac(y)*2*Pi. Damit uebertraegt man das Problem auf die Loesung von z^x=1 in der komplexen Ebene.

=>
Satz 1:
******
Der Bruch a/b hat die selbe Nachkommastellen wie der Bruch a/b *(k*b+1)
k=0,1,2,3 ...
denn die Gleichung z^(a/b) hat b Loesungen Die b+1 te ist gleich der ersten.
frac(a/b)=frac( a/b*(k*b+1) )

"Beweis" :
a/b*(k*b+1)=(a*k*b+a)/b= k*a+a/b

Beispiele:
1) 0.11=11/100; 0.11*101=11.11
2) 5/7=0.7142857143; 8*4/7=5.714285714

Aus 7/5=1.4 kann ich ohne Rechnung sofort angeben, dass 7/5*6=42/5 oder 1.4*6 gleich 8.4 ist

Annahme 1:
Es gibt keine kleiner Zahl als q=b+1 fuer die gilt
frac(a/b)=frac(a/b*q)

Satz 2
*****
Fuer jede rationale Zahl p+frac(x),p element N laesst sich eine Zahl q element N finden, so dass (p+q+frac(x))/(p+frac(x)) eine natuerliche Zahl n ist.
n=p+q-1 ist dann der Nenner der Bruchdarstellung von p+frac(x)
n*p+frac(x) der Zaehler

Beispiel
8.4/1.4=6
5*1.4=7; 7/5=1.4

Satz 3
*****
Die Gleichungen z^Phi=z0 und z^(1/Phi)=z0 haben identische Loesungen., denn frac(Phi)=frac(1/Phi).

[richy]

hi
Hier noch ein Beweis, dass wurzel(5) irrational ist.
Ist der Beweis fehlerfrei ?

[ralfkannenberg]