Achilles und die Schildkröte (relativistische Variante)

[hyper]

[hyper]

[Joachim]

[hyper]

[hyper]

nachtrag:

ich hatte richtig geschrieben, dass das schiff ab t=0 vom hinteren universum nur noch die photonen empfangen kann,
zum zeitpunkt t = 0 bei position x waren, mit 0 < x <x1 = startposition des schiffs.

das schiff beobachtet daher in der gesamten unendlichen zeitspanne ab t= 0 nur noch eine endliche zeitspanne der hinteren objekte.


andererseits wird das schiff stets photonen nach hinten abstrahlen, sodass die hinteren objekte des universums unendlich lang noch "neu erzeugte" signale vom schiff empfangen können.

wohlgemerkt: da geht nichts mehr aktiv hin und her. aber photonen werden noch passiv empfangen.

jetzt ist die interssante frage, ob auch die hinteren objekte
nur noch eine endliche zeitspanne des schiffs beobachten.

das wäre denkbar, und ich vermute das.

es könnte folgenden effekt geben:

in der ersten sekunde nach start, beobachten die hinteren objekte dass auf dem schiff nur ne halbe sekunde vergeht (rotverschiebung)
in der zweiten sekunde beobachten sie, dass auf dem schiff nur ne viertel sekunde vergeht (schiff hat ja beschleunigt, daher stärkere rotverschiebung)
in der dritten sekunde beobachten sie, wie auf dem schiff nur ne achtelsekunde vergeht und so weiter.

wir haben also eine unendliche reihe der form:

summe über n von (0,5 hoch n )

da käme dann 1 raus.

bei dem beispiel würden daher die hinteren objekte bei beliebig langer beobachtung des schiffs beobachten, dass auf dem schiff nur eine sekunde vergeht, während für sie unenendlich viel zeit vergeht.

wir haben es in diesem sinne daher doch mit einer symmetrischen situation zu tun.

sowohl das schiff sieht in seiner zukunft von seiner rückwelt nur noch einen endlichen zeitabschnitt

als auch die rückwelt sieht nur noch einen endlichen physikalischen vorgang auf dem schiff ablaufen

da der prozess der zeitdilatation natürlich auch immer stärker wird, könnte man vermutlich auch zeigen, dass für das gesamte inertialsystem des ruhenden beobachters auf dem schiff nur noch endlich viel zeit vergeht.


wenn das schiff dem rest des Universums überhaupt noch etwas wichtiges mitteilen möchte, dann hat es dafür nur noch endlich viel zeit (auch aus seiner sicht). ich denke man kann zeigen, dass das für jedes bezugsystem im universum gilt.

und umgekehrt:
die objekte in entfernung x1 hinter dem schiff haben keine chance mehr dem schiff was mitzuteilen, wenn es erst mal beschleunigt.
wenn sie dem schiff also eine wichtige letzte botschaft geben wollen, die das schiff nach beginn der beschleunigung noch empfangen kann , dann müssen sie das in einem begrenzten zeitintervall vor t=0 tun.

ich erkenne da nun wirklich eine starke analogie zu dem hineinfallenden schiff in ein schwarzes loch. ich bin zuversichtlich, dass das, was ich hier beschrieben habe, genau den prozess beschreiben könnte, der passiert, wenn ein objekt in ein schwrazes loch fällt.

[M_Hammer_Kruse]

Hallo hyper,

[hyper]

[Lucas]

apropo bild
ich denke für eine gleichförmige konstante eigenbeschleunigung (tau/Xi) der schildkröte würde diese bild noch passen


Gruss, Lucas

ps: Quelle http://www.motionmountain.net/ Special Relativity / Page 340

[hyper]

[hyper]

[Joachim]

[Uli]

Hmm, mir schien die Behauptung von Hyper unwahrscheinlich, dass ein Lichtstrahl ein schnell beschleunigendes Raumschiff nicht einholen kann.

Das Beispiel mit konstanter Beschleunigung lässt sich noch im Rahmen der SRT exakt lösen.

Laut SRT gilt für eine konstante Beschleunigung im System des Raumschiffes in Bewegungsrichung (entstpricht einer konstanten Kraft):

m*g = F = konst = [m / (sqrt(1-v^2/c^2)^3] dv/dt

(siehe z.B. Landau & Lifschitz, Theoretische Physik kurzgefasst, Band 1)
m sei dabei die Ruhemasse des Schiffes (fällt dann eh heraus) und g die konstante Beschleunigung.
Das ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in v(t) und t, die sich mittels Separation der Variablen lösen lässt.
Ich bekomme nach Integration mit der Anfangsbedingung v(0)=0

v(t) / {c^2 * sqrt(c^2 -v(t)^2)} = (g/c) * t

Setze ich nun v(t) = dx/dt, so bekomme ich wiederum eine Dgl. diesmal in x(t) und t. Die lässt sich wiederum mittels Separation der Variablen lösen.

Mit der Anfangsbedingung x(0) = x1 wie vorgegeben, bekomme ich

x(t) = c * { sqrt(t^2 + c^2/g^2) - c/g } + x1

Das ist die Weg-Zeit-Gleichung des Raumschiffes. Die Weg-Zeit-Gleichung des Lichtstrahles ist

xlicht(t) = c * t

Bildet man x(t) - xlicht(t) und sucht die Nullstellen, um zu sehen, bei welcher Zeit der Treffpunkt ist, so gibt es nur dann positive Lösungen, wenn

x1 * g < c^2

Hat mich schon überrascht.
Bestimmt habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht, aber ich denke doch, dass es den besagten Effekt prinzipiell gibt.

Aber was hat das nun mit dem Ereignishorizont eines schwarzen Loches zu tun ?

Gruss, Uli

[Joachim]

[hyper]

Ich hab mal grob c^2/g bestimmt. Das ist laut dem Raumzeitdiagramm die entfernung, die man als Vorsprung vor dem Lichtstrahl braucht, um nie mehr von ihm eingeholt zu werden.

sofern man mit g beschleunigt.

Alles was weiter weg ist, ist ab dem Zeitpunkt t = 0 nicht mehr in der Lage in aktiver Wechselwirkung mit dem Objekt zu treten = Ortsbestimmungen über Radar auszuführen.
Alles was weiter weg ist, ist auch vom bewegten Objekt entkoppelt. Das Objekt kann ebenfalls über Radarmessung die weiter entfernten Objekte nicht mehr erfassen.

Die grosse Frage also: Wenn ich eine Sekunde mit g beschleuinige, von welchem Teil des Weltalls bin ich dann eigentlich in dieser Sekunde vollständig entkoppelt?

Antwort: Von den Objekten, die mehr als ca. 1 Lichtjahr weg sind.

Natürlich könnte ich in dieser Sekunde sowieso keine Radarmessung zu den entfernten Objekten durchführen
Allein der Raum stellt offensichtlich schon eine mit der Entfernung kontinuierlich Ansteigende Entkopplung dar.

Aber wenn ich weiter mit g beschleunige, würde sich nach 2 Jahren (Erdzeit) rausstellen, dass meine Signale von den Objekten, die beim Start 1 Lichtjahr weg waren, merkwürdigerweise nie zurückkommen. Ich messe da keine Objekte mehr.
Und wenn ich keine Objekte messe, dann sind da auch keine Objekte mehr für mich.

[M_Hammer_Kruse]

Hallo uli,

ohne die Differentialgleichungen nachgerechnet zu haben: In v(t) / {c^2 * sqrt(c^2 -v(t)^2)} = (g/c) * t ist schon dimensionsmäßig etwas falsch (Links: 1/Geschwindigkeit², rechts: dimensionslos).

Gruß, mike