Achilles und die Schildkröte (relativistische Variante)

[hyper]

Ein berühmtes Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon (auch Zeno) von Elea, auch der Ältere, (* um 490 v. Chr. in Elea, † um 430 v. Chr. vermutlich in Elea oder Syrakus), beschreibt die logische Problematik, die entsteht, wenn ein langsames Objekt (Schildkröte) von einem schnellen Objekt (Achilles)überholt werden soll:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er ihren Vorsprung eingeholt haben. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Vorsprung gewonnen, und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte zu jedem Zeitpunkt hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähern, sie aber niemals überholen könne.

Die Auflösung dieses Paradoxons:

1. Es wird nicht berücksichtigt, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
2. Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen

Ich möchte nun einen abgewandelten Vorgang beschreiben, der beweist, dass es möglich ist, dass ein Objekt nie von einem Lichtstrahl eingeholt werden kann, obwohl das Objekt zu jedem Zeitpunkt langsamer als c ist.

Der Trick: Das langsamere Objekt darf beschleunigen, jedoch nie c erreichen:

Wir denken uns einen ruhenden Beobachter B bei einer Koordinate x= x0 = 0.

In x-Richtung sei ein Raumschiff R ebenfalls in Ruhe bei x = x1.

Zum Zeitpunkt t= 0 schickt B einen Lichtstrahl zu R.
Ebenfalls zum Zeitpunkt t =0 setzt sich R in Bewegung mit folgender Bewegungsgleichung:

x(t) = x1 + v(t)*t
= x1 + (c - x1/(X1/c + 2*t))*t

Wie wir sehen, ist R zum Zeitpunkt t=0 bei X1 und v(0) = 0
Bei t gegen unendlich geht v(t) gegen c, ist jedoch stets kleiner als c.

Nun vergleichen wir die Positionen zum beliebigen Zeitpunkt t mit dem Lichtstrahl:

Das licht hat zum Zeitpunkt t die Position L(t) = c*t

Bilden wir die Differenz der Positionen Raumschiff und Licht:

x(t) - L(t)
= x1 + (c - x1/(X1/c + 2*t))*t - c*t
= x1 + c*t - (x1*t)/(x1/c+2*t) -c*t
= x1 - (x1*t)/(x1/c+2*t)
= x1*(1 - t/(x1/c+2*t))
> x1*(1 - t/(2*t))
= x1 / 2

Wir sehen, dass ZU JEDEM ZEITPUNKT das Raumschiff einen Vorsprung gegenüber dem Lichtstrahl behält, der größer als die Hälfte des Anfangsvorsprungs ist.

Konsequenzen:


Für einen Beobachter B der in kontakt mit dem ruhenden Schiff R steht, ist es spätestens bei t=0 nicht mehr möglich eine Radarmessung zur Positionsbestimmung des Schiffs zu machen. JEDER andere Beobachter in seinem System, die bei x > x1 sind können das Schiff auch jeweils nur noch endliche Zeit radarmäßig erfassen. Es gibt jedoch zu jedem Zeitpunkt t einen Beobachter B2(t) der im Inertialsystem von B ist und das Schiff R radarmäßig erfassen kann.



Ein Objekt, dass in ein schwarzes Loch fällt, führt ebenfalls eine beschleunigte Bewegung für einen aussenstehenden Beobachter B durch.

Vermutung:
Wenn das Objekt hinreichend nahe am Ereignishorizont ist, beschleunigt es so stark, dass kein Lichtstrahl von B mehr das Schiff erreicht.

B wird zwar ewig das Raumschiff vor dem Ereignishorizont "sehen" Jedoch kann er irgendwann keine Positionsbestimmung über Radar mehr ausführen.

Da in seinem Bezugsystem auch niemand mehr vor dem Schiff ist,
kann kein Beobachter im Bezugsystem von B das Schiff radarmäßig erfassen.

Folgerung:
Wenn B das Schiff in diesem Universum nicht mehr messen kann, existiert es für B nicht mehr. Das Schiff muss dann als vom schwarzen Loch verschluckt angesehen werden.

[hyper]

Wie sieht es eigentlich aus Sicht des beschleunigten Schiffs aus (nicht die schwarze Loch Variante)?

Es kann logischerweise auch keine Radarstrahlen mehr zum Beobachter senden, die zurückkommen.

Mehr noch: Sämtliche Objekte, die bei x < 0 liegen (also hinter dem Beobachter) werden dem schiff keinerlei zukünftige signale senden können.. denn es eilt all den Lichtstrahlen davon.

Auch Objekte, die in gleicher weise oder schneller synchron beschleunigt werden würden und hinter x= x1 /2 liegen würde das Objekt nicht mehr sehen und messen können.

Wir müssen daraus folgern:

Für das Schiff verschwindet mit Beginn der genannten Beschleunigung jede möglichkeit, mit in -x Richtung liegenden Objekten zu kommunizieren, die eine Entfernung von x1 /2 haben.

Die Objekte verschwinden aber nicht für das Schiff.

Es werden die letzten Lichtstrahlen des "hinteren Universums"
die im Bereich x1 /2 bis x1 waren das Schiff über die Jahre und Jahrhunderte und Jahrmilliarden noch nach und nach erreichen.

Aber alles, was hinter x1 /2 beim Start war, wird keine Weiteren signale zum Schiff senden können.

Das hintere Universum scheint für das Schiff daher zeitlich einzufrieren.

Wenn ich diese Erkenntnis jetzt auf das ins schwarze Loch fallende Schiff anwende, dann könnte dort eventuell ein ähnlicher Effekt entstehen (nachrechnen)

Irgendwann vor dem Ereignishorizont beschleunigt das Schiff so schnell, dass das Universum für das Schiff zeitlich einfriert.

Meine Vorhersage steht im krassen Widerspruch zu einer Vermutung, dass das ins Loch fallende Schiff die Welt im Zeitraffer beobachten kann.

[hyper]

habe eben von joachim einen richtigen einwand bekommen, dass die formeln nicht passen.

es geht aber trotzdem. am einfachsten macht man sich das geometrisch plausibel in einem raumzeitdiagramm.

Leider kann ich hier kein Bild reinstellen.

Ich muss es in Worten beschreiben. Hoffentlich könnt ihr es euch vorstellen und nachvollziehen.

Stell dir ein Koordinatensystem vor.

x - achse ist x position
Senkrecht dazu nach oben die t achse.

der lichtstrahl geht für t = 0 mit 45 grad schräg nach oben
er bewegt sich also in x richtung.

nun denke dir eine Hilfslinie (zweiter Lichtstrahl), der bei t=0 bei x1/2 ist
und auch um 45 grad nach rechts liegt.

bei x1 und t = 0 malst du jetzt eine kurve.

die geht erst senkrecht nach oben (das raumschiff hat zu anfang die geschwindigkeit null) aber dann krümmt sie sich nach rechts, hat aber stets einen winkel > 45 grad und bewegt sich asymptotisch auf die hilfslinie (licht strahl bei x1 /2) zu.

vergiss die formeln, die waren léider falsch. aber das bild veranschaulicht es, dass es möglich ist, dem licht davonzueilen, ohne schneller als das licht zu sein.

[galileo2609]

[hyper]

ok.

Mir wäre daran gelegen, wenn man hier mal ein Bild reinstellen könnte, mit der ich das geometrich veranschaulichen kann.

Auf die schnelle ne passende Formel zu finden für die Beschleinigung ist mir momentan zu aufwendig.

Im Raumzeitdiagramm muss man der 45 grad hilfslinie die den lichtstrahl repräsentiert der bei x1 / 2 und t = 0 startet,

eine Kurve (Raumschiff) asymptotisch von unten nähern und darf nie die steigung von 45 grad unterschreiten (man muss immer langsamer als c sein)

Man kann sich asymptotisch für x-> unendlich und t-> unendlich dieser Lichtstrahllinie annähern, was bedeutet, dass das raumschiff sich immer mehr der geschwindigkeit c nähert.

da aber die raumschiffkurve immer unterhallb der lichtgeraden liegt (weiss man, dass man nie vom licht eingeholt wird).

ich vermute mal, rein mit worten wird man das nicht nachvollzien können. ein bild wäre echt hilfreich, oder jemand findet ne gute formel, die diese asymptotische annäherung an die lichtgerade im raumzeitdiagramm beschreibt.

[galileo2609]

[M_Hammer_Kruse]

Hallo hyper,

das tut z. B. jede geeignete Hyperbel. Ich verstehe zwar nicht, was Du mit "x1 / 2" meinst, aber der Sinn Deiner Aussage erschließt sich mit trotzdem (glaube ich).

Nimm die Gerade y=x und die Hyperbel x²-y²=1, und schon hast Du's:

1. Es ist stets x²>y², also im ersten Quadranten x>y: Die Hyperbel liegt unterhalb der ersten Winkelhalbierenden.
2. Es ist y=wurzel(x²-1)=x*wurzel(1-x²), und das strebt für x->unendlich gegen x: Die erste Winkelhalbierende ist Asymptote.
3. Mit y'=x/wurzel(x²-1)=x/y siehst Du wegen x>y, x/y>1, daß die Steigung stets größer als 45° ist.

Gruß, mike

[hyper]

[hyper]

Noch etwas. Lichtstrahlen, die das Schiff nach vorne ausstrahlt werden maximal eine endlich distanz dem Schiff vorauseilen. Denn dass Schiff nähert sich ja aymptotisch der Raumzeitlinie eines Lichtstrahls an.




Es kann auch selbst kaum noch Objekte in Bewegungsrichtung radarmäßig messen, denn die Lichtstrahlen kommen ja nur endlich weit vom Schiff weg

Das bedeutet, dass hinter dem Schiff für das Schiff die Zeit einfriert und vor dem Schiff die Zeit im Zeitraffer abläuft und dass der eigene Wirkungsradius des Schiffes (Rdarstrahlenmessung) gegen null geht.

[galileo2609]

Mal so aus Interesse. Hast du jemals ein wissenschaftliches paper verfasst? So mit abstract und allem was dazu gehört?

Grüsse galileo2609

[hyper]

[galileo2609]

[hyper]

ich glaube, man kann's verstehen.
m_hammer_kruse hat's genau kapiert und das war nicht so leicht ohne Bild.

viele details sind hier villeicht auch nicht so wichtig.

wichtig ist nur:

man kann bei hinreichender beschleunigung sich in gewisser weise von der hälfte des universums entkoppeln, weil weder die leute hinter dir dich dann noch messtechnisch erfassen können, noch du sie messtechnisch erfassen kannst.

zwar siehst du ein fast eingefrorenes universum hinter dir aber da gehen keine signale mehr hin und zurück.

wenn keine signale mehr hin und zurück gehen, gibt es keine wechselwirkung. wechselwirkung wird immer als ein austausch von strahlung quantenmechanisch modelliert. wenn zwei elektronen sich abstoßen, tauschen sie virtuelle photonen aus. bei gravitation könnten es gravitonen sein.

wenn dich das licht nicht mehr erreicht, hast du keine wechselwirkung mit der kompletten hälfte des universums mehr. keine kraftübertragung findet mehr statt zwischen dir und dem hinteren universum.

und das wohlgemerkt bei geschwindigkeit unter c.

auch wenn da was hinter dir herfliegt, möglicherweise beschleunigt wie du selbst, es wird keine wechselwirkung geben, denn nicht mal das Licht holt dich ja ein.

interessant ist, dass dieses phänomen nicht da wäre, wenn die lichtgeschwindigkeit eines radarstrahls eines verfolgers die geschwindigkeit des verfolgers additiv hinzubekommt.

aber c bleibt konstant und daher erreicht dich kein signal mehr aus entsprechenden hinteren Bereichen.

ich würde gerne mal wissen, ob die beschleuigung zum ereignishorizont eines schwarzen lochs hinreichend ist, um den beschriebenen effekt zu erreichen.

das schiff würde dann das universum fast genauso sehen, wie es vom universum gesehen wird. alles entfernt sich und friert zeitlich ein und ist messtechnisch nicht mehr zu erfassen und es gibt keine wechselwirkungen mehr.

[Joachim]

Hi hyper,

ja, mit einer Hyperbel sollte es funktionieren. Das ist allerdings ein ziemlich akademischer Fall. Fakt ist ja, dass der Abstand zu einem verfolgenden Lichtstrahl ständig kleiner wird. Dass heißt zu jedem kleinen Abstand x gibt es eine Zeit T nach der der Lichtstrahl um weniger als x an dem Raumschiff dran ist. Den Mindestabstand von xo/2, den du ursprünglich postuliert hattest, gibt es nicht.

[Uli]