Das Zwillingsparadoxon

[Joachim]

Hallo garfield335,

Sowohl Weg als auch Zeit, also der Weg durch die Raumzeit ist entscheidend.

Die in einem kleinen Zeitintervall dt für das Objekt vergangene Eigenzeit ds errechnet sich zu:

ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2

Wobei x, y und z Kartesische Koordinaten und dx, dy und dz die Änderung der Koordinaten während des Zeitschritts dt sind. Nun ist genau diese Größe ds der Betrag eines Vierervektors und damit in jedem Inertialsystem gleich. In einem Inertialsystem, in dem das Teilchen einen längeren Weg zurückgelegt hat, hat es dafür auch etwas mehr Zeit gebraucht.

Das schöne an der Verwendung der infinitesimalen Größen ist übrigens, dass die Formel in der ART unverändert gilt. Man kann immer ein lokales kartesisches Koordinatensystem plus passender Zeitachse finden, für das obige Gleichung für ds unverändert gilt.

Gruß,
Joachim
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Relativitaetsprinzip.Info
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[tesserakt]

Hallo,
auch ich habe immer noch so mein Problem mit den Erklärungen zum ZP.
Mike schrieb am 22.11.06:

[patentpruefer]

Hallo,
kleine Korrektur: die Eigenzeit ds eines durch die Raumzeit bewegten Objektes berechnet sich nach:
c^2*ds^2=c^2*dt^2-dx^2-dy^2-dz^2
(der Faktor c^2 hat oben gefehlt)

wobei x,y,z Funktionen von t in dem jeweils gewählten IS sind, von dem aus ich den Vorgang betrachte. Wie schon oben angemerkt, ist ds^2 der Betrag eines Vierervektors und damit bei einem Wechsel des IS invariant.

D.h. ich kann mein IS zur Beschreibung des ZP frei wählen.

Durch geschickte Wahl des IS kann ich den Wendevorgang des Raumschiffes (=B) vollständig aus dem Problem eliminieren, indem man nämlich ein IS wählt, in dem B zunächst ruht und A bewegt ist.

Dann bewegt sich A zunächst während einer Zeitdauer t mit v vom Ausgangspunkt weg. Nach der Zeit t startet B mit 2v und holt A nach einer weiteren Zeitspanne t ein. D.h. ich habe das ZP auf folgende Situation reduziert:
A bewegt sich 2t lang mit v
B ruht t lang und bewegt sich dann t lang mit 2v.

Die Eigenzeiten betragen:
A: sa=SQRT((2t)^2 - (v*2t)^2/c^2)= 2t*SQRT(1-v^2/c^2)
B: sb=t+SQRT(t^2 - (2v*t)^2/c^2)=t*(1+SQRT(1-4*v^2/c^2))

Wenn ich jetzt t durch sa ausdrücke und in die Gleichung für sb einsetze erhalte ich das gleiche Ergebnis wie bei konventioneller Betrachtung des ZP - nur diesmal ohne den Wendevorgang.

Die genaue Analyse entzaubert also komplett das ZP. Das ZP ist somit gar kein Paradoxon, denn es gelingt nicht ein IS aufzufinden, in welchem A und B den gleichen Weg durch die Raumzeit beschreiben. Folglich können A und B nicht gleichberechtigt sein, wie von Kritikern immer wieder behauptet wird.

viele Grüsse
patentpruefer

[tesserakt]

Hallo patentpruefer,
danke für Deine Antwort, aber ich verstehe sie nicht.

Eigentlich wollte ich nur wissen, ob der Zeitunterschied auf Hin- und Rückflug oder durch das Wendemanöver entsteht.

1.) Falls auf Hin- und Rückflug: Wieso sind die IS von Raumschiff und Erde nicht gleichberechtigt (bis auf die Wende) und die Uhren gehen in diesen Phasen gleich, wie man fast überall bei der Erklärung des ZP lesen kann.

2.) Falls beim Wendemanöver: Wieso spielt es eine Rolle, wieweit das Raumschiff von der Erde entfernt ist? Das Wendemanöver ist ansonsten bei beiden obigen Raumschiffen völlig identisch bzg. Richtung, Geschwindigkeit, Bremsweg und Beschleunigung.

Für eine logische Erklärung (ohne viele Formeln) wäre ich dankbar.

Gruß HH

[Ich]

Der Zeitunterschied ist der Unterschied der Weglänge in der Raumzeit. Der eine Weg ist kürzer, der andere länger.
Wie willst du zuordnen, wo genau welche Strecke länger wird?
Das Wendemanöver ist nur ein Unterscheidungskriterium: der, der wendet, hat am Schluss den kürzeren Weg zurückgelegt.
Analog zu Strecken im normalen Leben: der, der die Richtung ändert, hat am Schluss die längere Strecke zurückgelegt, wenn sich zwei wieder treffen. Je weiter draußen er die Richtung ändert, desto größer der Unterschied.
Einfach Geometrie.

[Wolfi]

Noch ein Gedanke von mir: Natürlich kann sich jeder Beobachter - auch der reisende Zwilling - als ruhend betrachten. Dh während der Reise, so lange er sich intertial bewegt, vergeht aus seiner Sicht die Zeit auf der Erde verzögert. ABER: Um zurückkehren zu können, muss er irgendwann Richtung Erde beschleunigen. Und gemäß ART ist ein beschleunigtes System gleich wie ein ruhendes System mit Gravitationsfeld. Dh der reisende Zwilling wird während seiner Beschleunigungsphase ein Gravitationsfeld messen und bezüglich dieses Feldes wird er sich sein daheimgebliebener Zwilling auf einem höheren Potenzial befinden als er und somit wird für diesen die Zeit beschleunigt vergehen. In Summe wird der daheimgebliebene Zwilling daher mehr gealtert sein.
Ich hoffe, das ist halbwegs gut erklärt.

[Wolfi]

@tesserakt:
Noch eine Ergänzung: Hat der eine Zwilling eine größere Strecke zurückgelegt, ist der Wendevorgang natürlich immernoch der gleiche. ABER: Da ihr Abstand nun größer ist, wird natürlich auch ihre Potenzialdifferenz im Gravitationsfeld (das bei der Beschleunigung entsteht) höher. Und deswegen vergeht die Zeit während der Beschleunigung beim daheimgebliebenen Zwilling noch schneller als bei einer kürzeren Reise.

LG Wolfi

[patentpruefer]

Hallo,

der Unterschied in der Eigenzeit hat definitiv nichts mit einer Beschleunigung bei der Umkehr zu tun. Das ZP lässt sich komplett ohne Zuhilfenahme der ART auflösen.

Du könntest - anstatt zu wenden - auch deine Uhr mit der einer entgegenkommenden dritten Person synchronisieren. Sobald diese dritte Person wieder die Erde passiert und ihre Uhr mit dem zurückgebliebenen Zwilling abgleicht, stellen beide die oben berechnete Zeitdifferenz fest.

Die Differenz der Eigenzeiten ergibt sich ganz alleine als Konsequenz aus den unterschiedlichen Wegen durch die Raumzeit. Zwar erlaubt das Relativitätsprinzip auch den Vorgang aus einem mit dem Raumschiff mitbewegten IS zu betrachten, doch die Unterschiedlichkeit der Wege durch die Raumzeit bleibt dabei erhalten. Du kannst noch so lange suchen, es wird Dir nicht gelingen ein IS zu finden, in welchem beide Zwillinge gleichartige Wege durch die Raumzeit zurücklegen. Somit ist die Behauptung irrig, beide Zwillinge seien gleichberechtigt.

viele Grüsse
Patentprüfer

[Ich]

[Wolfi]

Stimmt, aber es gibt eben mehrere Arten, das Problem zu betrachten. Wenn man sich in das Intertialsystem der Erde setzt, dann ist der reisende Zwilling am Ende der Reise jünger, weil er in Bewegung war. Man kann jedoch auch den anderen Zwilling als ruhend ansehen. Dann ist aber das durch Beschleunigung entstehende "Gravitationsfeld" dafür verantwortlich, dass die Zeit auf der Erde schneller vergeht. Aber wichtig ist: egal wie man es betrachtet, man kommt immer zum selben Ergebnis.

LG, Wolfi

[patentpruefer]

[Ich]

Ja, und? Es behauptet doch niemand das Gegenteil. (Obwohl man könnte, nach länglicher Diskussion und Hinweis auf koordinatenabhängige Größen.)

[Waverider]

[garfield335]

Hallo Forum,

Ich habe ein konkrete Frage zu diesem schönen Paradoxon.
Kennt jemand die Lösung des Paradoxons? Wo es nachgerechnet wurde?

ich habe gerade ein wenig gegoogelt ohne sinnvolles zu finden.

[M_Hammer_Kruse]

Hallo garfield,

ich finde die Beschreibung bei wikipedia immer ganz instruktiv. Ein "Paradoxon" ist es nur, wenn man die Sache nur halb zuende denkt und dadurch zu Widersprüchen kommt.

Typische Fehler sind:
- Daran kleben, daß für alle Beteiligten die gleiche Zeit gilt ("Universelle Gleichzeitigkeit").
- Die Längenkontraktion berücksichtigen, nicht aber die Zeitdilatation (oder umgekehrt).

Wenn man diese Klippen umschifft, dann ist das Paradoxon keines mehr.

Gruß, mike