Nachtrag zum Ziegenproblem

[ralfkannenberg]

Hallo Leute,

ich habe eine hübsche Verallgemeinerung zum Ziegenproblem gelesen, die ich Euch nicht vorenthalten möchte:

Das klassische Ziegenproblem ist ja folgendermassen formuliert:

Bei einem Spiel gibt es 3 Türen; hinter einer Türe befindet sich der Hauptgewinn, ein teures Auto, hinter den bedien anderen Türen indes nur eine Ziege.

Der Kandidat weiss aber nicht, hinter welcher Türe sich das Auto befindet.

Somit wäre die Wahrscheinlichkeit also 1/3, dass der Kandidat auf den Hauptgewinn tippt.

Das Ziegenproblem hat nun folgende Komplikation:

Nachdem der Kandidat auf eine Türe getippt hat, öffnet der Quizmaster eine der anderen Türen, hinter der sich eine Ziege befindet und bietet dem Kandidaten an, auf Wunsch eine andere Türe zu wählen.

Lohnt es sich für den Kandidaten, das Angebot des Quizmasters anzunehmen oder ist er besser beraten, bei seiner ersten Wahl zu bleiben ? Oder kommt es auf dasselbe hinaus ?

Der "gesunde Menschenverstand" argumentiert, dass es keine Rolle spiele, dass die Wahrscheinlichkeiten 50:50 seien.

Der Mathematiker unterscheidet 3 Fälle:

- im ersten Falle hat der Kandidat bereits auf den Hauptgewinn getippt und würde ihn verlieren, wenn er sich umentscheidet (Wahrscheinlichkeit 1/3)

- in den beiden anderen Fällen hat der Kandidat auf eine Ziegentüre getippt und würde bei einer Umentscheidung den Hauptgewinn bekommen.

Lösung: Wenn sich der Kandidat umentscheidet, erhöht sich seine Gewinnchance auf 2/3.


Wie schon gesagt, das ganze ist etwas unanschaulich. - Wie kann man es anschaulicher machen ?

Erweitern wir das Spiel dahingehend, dass es n Türen gibt (z.B. 1 Million) und hinter einer befindet sich der Hauptgewinn und hinter den anderen befindet sich eine Ziege.

Der Kandidat wählt nun eine Türe aus (Wahrscheinlichkeit auf den Hauptgewinn ist 1:ein Million) und der Quizmaster öffnet von den verbliebenen Türen

- alle bis auf eine
- und: nur solche Türen, hinter denen eine Ziege ist


Es gibt nun also 2 Möglichkeiten:

(1) der Kandidat hat wirklich den Hauptgewinn im ersten Tipp erwischt oder aber

(2) der Hauptgewinn ist hinter der noch nicht geöffneten Türe


(1) hat eine Wahrscheinlichkeit von 1: eine Million
(2) hat eine Wahrscheinlichkeit von 999'999 zu eine Million


Das Ziegenproblem ist also der Spezialfall n=3.

Freundliche Grüsse, Ralf

[Blacky2]

Hallo Ralf,

Da stimmt doch was nicht bei deiner Behauptung:
"im ersten Falle hat der Kandidat bereits auf den Hauptgewinn getippt und würde ihn verlieren, wenn er sich umentscheidet (Wahrscheinlichkeit 1/3)"

Sobald der Quizmaster eine Türe mit einer Ziege geöffnet hat, bleiben nur noch 2 Türen übrig, eine mit einer Ziege und eine andere mit einerm Auto dahinter.

Also ist die Wahrscheinlichkeit 50:50 und nicht 1/3, weil ja schon eine Tür geöffnet ist.
Der gesunde Menschenverstand ist also richtig.

Gruß, Martin

[El Cattivo]

[ralfkannenberg]

[Powerniki]

[Blacky2]

Stimmt, der Groschen ist gefallen!

Man kann das Experiment ja leicht selbst machen. Man hat 6 Würfel (oder was anderes) verdeckt mit Bechern, von denen jeder Würfel eine andere Zahl oben hat (1-6). Nun soll man den Würfel z.B. tippen, der die 6 oben hat. Nach Abzug aller anderen Würfel bis auf einen ist natürlich der übiggebliebene Würfel wahrscheinlicher eine Sechs (5/6) als der getippte (1/6).

Das geht nur deswegen, weil der Quizmaster weiß, wo die 6 (bzw. das Auto) steckt und gezielt die anderen Möglichkeiten entfernt werden.
Das Wissen macht den Unterschied!

Gruß, Martin

[richy]

Anfangs haben alle Tueren die Wahrscheinlichkeit 1/3.
Durch das Oeffnen der Tuer sinkt dessen Wahrscheinlichkeit auf 0.

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist auf jeden Fall 1.
Sie ist nun aber nicht jeweils 1/2, da sich die Wahrscheinlichkeit der gewaehlten Tuer nicht aendert und 1/3 bleibt.
Das liegt an der Spielregel, die die bereits gewaehlte Tuer nicht mehr mit einschliesst.Duerfte auch diese geoeffnet werden, so waere die Wahrscheinlichkeit der beiden verbleibenden Tueren jeweils 1/2.
Aber auch nur dann wenn ein Zufallsgenerator entscheidet welche Tuer geoeffnet wird.
Ansonsten koennte man argumentieren, dass der Quizmaster bewusst die gewaehlte Tuer nie oeffnet. Dann entspraeche dies aber der Spielregel zuvor und die bereits gewaehlte Tuer waere wie dort vom weiteren Verlauf des Spieles ausgenommen.

Und in dem Fall bleibt die Wahrscheinlichkeit der gewaehlten Tue bei 1/3.
Die Aenderung von 1/3 auf 0 der geoeffneten Tuer geht als Information
auf die verbeibende nichtgewaehlte Tuer ueber.
Oder anders argumentiert die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1.
1/3 + 2/3 =1

Das entscheidende ist also Einzusehen, dass sich die Wahrscheinlichkeit der gewaehlten Tuer nicht aendert. Dann ist das Ziegenraetsel ganz einfach.

[MontyHall]

Die Brute-Force-Methode:
http://web252.ipschleuder.de/ziegenproblem.html

[richy]

@monty
Der Link bestatigt nochmal, dass die Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 0 der geoeffneten Tuer als Information auf die verbeibende nichtgewaehlte Tuer uebergeht. 1/3+1/3=2/3
Dass die Wahrscheinlichkeit der gewaehlten Tuer bei 1/3 bleibt ist aber wahrscheinlich einfacher einzusehen.

[lazyjones]

[M_Hammer_Kruse]

Hier mal was Nettes für die Weihnachtstage: http://mathekalender.de/#gewinnspiel-dialog

Gruß
mike

[garfield335]

[garfield335]

In einer normalen Spielsituation wird der Moderator wohl nicht "Zufällig" eine Tür auswählen sondern versuchen den Kandidaten zu verwirren,
Er wird versuchen ihm eine Falle zu stellen.

"Psychologische Kriegsführung"