ART und Drehimpulserhaltung

[Wolfi]

Wie sieht es eigentlich mit der Drehimpulserhaltung in der ART aus? Beim geodätischen Effekt, der neulich beim Gravity-Probe gemessen wurde, verändert sich ja die Rotationsachse eines Kreisels (http://en.wikipedia.org/wiki/Geodetic_effect). Gilt nun die Drehimpulserhaltung oder nicht? Das Noether-Theorem der klassischen Mechanik kann man in gekrümmten Räumen offenbar nicht anwenden. Weiß jemand eine Antwort?

LG Wolfi

[Emm]

Nein, leider gilt die Drehimpulserhaltung in gekruemmten Raeumen nicht. Wenn ich mich richtig erinnere, hat das damit zu tun, dass der Paralleltransport von Vektoren in gekruemmten Raeumen wegabhaengig ist. D.h. der Drehimpuls zeigt nach einer Verschiebung je nach zurueckgelegtem Weg am Schluss in eine bestimmte Richtung.
Die Energieerhaltung gilt uebrigens auch nicht mehr, weiss aber nicht mehr wieso.

[Joachim]

Hallo,

[Wolfi]

Das heißt, wenn es keine Symmetrien (Killing-Vektoren) in einer Raumzeit gibt, dann gibts auch keine Erhaltungsgrößen? Das ist irgendwie unbefriedigend. Ich denke nicht, dass die ART ein Perpetum-Mobile erlauben würde.

[Wolfi]

Ich denke, es muss immer etwas geben, das sich als Energie (oder Drehimpuls) interpretieren lässt und das eine Erhaltungsgröße ist. Wenn man zb eine Lösung der Feldgleichungen betrachten, die zwei einander umkreisende schwarze Löcher beschreibt (ich weiß, dass es da nur numerische Lösungen gibt), dann hätte eine solche Raumzeit überhaupt keine Symmetrien. Insbesondere gäbe es kein zeitartiges Killingvektorfeld. Die beiden Massen würden einander zwar mit der "Zeit" immer näher kommen, aber dabei Gravitationswellen abstrahlen. Und wenn man diesen Wellen eine Energie zuordnet, dann gilt die Energieerhaltung wieder.
Ich denke, dass etwas derartiges immer möglich sein muss. Auch beim Drehimpuls. Oder?

LG, Wolfi

[Joachim]

Hallo Wolfi,

im Fall der einander umkreisenden Schwarzen Löcher, findet das ganze ja im freien Raum statt. Da folgt aus der Homogenität und Isotropie des Raumes direkt die Impuls- und Drehimpulserhaltung. Man muss sich dabei immer überlegen was passiert, wenn man alle beteiligten Massen um einen beliebigen Winkel um den Drehpunkt rotiert. Ändert sich dann die physikalische Situation oder nicht? Wenn sie sich nicht ändert, liegt Symmetrie vor. Nun sagt das Relativitätsprinzip gerade, dass nur die relativen Lagen und Geschwindigkeiten von Massen in die Rechnung eingehen. Global ist damit immer der Drehimpuls und Impuls erhalten. Bei den Schwarzen Löchern gibt es also keine Verletzung der Drehimpulserhaltung.

Anders ist es aber mit einem Satelliten, der sich im Feld der Schwarzen Löcher bewegt. Für den gibt es überall starke Felder und Impuls, Drehimpuls und Energie sind nicht erhalten. Bei Gravity Probe B haben wir ja auch den Fall, dass sich der Satellit in dem Feld der Erde befindet. Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten, nicht aber der der Gyros für sich.

Mit der Energie ist es etwas komplizierter. Hier muss man sich überlegen, was eine Verschiebung des Zeitnullpunkts bewirkt. Läuft der Vorgang identisch ab, wenn man ihn um einen infinitesimalen Zeitschritt früher oder später startet? Lautet die Antwort ja, so ist die Energie erhalten. Sonst nicht unbedingt. In der klassischen Mechanik tritt Verletzung der Energieerhaltung bei Systemen mit zeitabhängigen äußeren Kräften auf. Global ist die Energie immer erhalten, in einem von außen bewegten System aber nicht unbedingt. In der ART wäre die Energieerhaltung verletzt, wenn der Raum sich dehnt. Es ist ein Unterschied, ob die Galaxien im Raum auseinanderdriften oder ob sich der Raum zwischen ihnen ausdehnt. Im ersten Fall bewegen sie sich gegen das Gravitationsfeld und verlieren kinetische Energie -> die Gesamtenergie ist erhalten. Im zweiten Fall merken sie von der Abstandsvergrößerung nichts -> ihre kinetische Energie bleibt gleich und die Gesamtenergie nimmt zu. Ein Perpetuum-Mobile ist das nicht, aber eine Energiequelle des Universums. Lokal merken wir davon eh nichts.

Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv)

[Wolfi]

Hmm also bei zwei Massen/schwarzen Löchern gibts meiner Meinung nach gar keine Symmetrien. Die Metrik ändert sich ja sowohl unter zeitlicher oder räumlicher Translation als auch bei einer Drehung. Strenggenommen dürfte es in diesem Fall überhaupt keine Erhaltungsgrößen geben.
In einem homogenen, isotropen Universum, das sich ausdehnt, nimmt ja die Geschwindigkeit mit der Zeit ab. Bei einem geschlossenen Universum gibts sogar einen Wendepunkt, wo die Ausdehnung un eine Kontraktion umschlägt. Hier könnte also vielleicht von "Energieerhaltung" sprechen. Allerdings nimmt in einem expandierenden Universum die Energiedichte der EM-Strahlung schneller ab, als die Massendichte, die umgekehrt proportional zum Volumen ist. Könnte man das nicht ausnützen um Energie zu "erzeugen"? Vielleicht indem man zu einem geeigneten Zeitpunkt Masse in Strahlung umwandelt?
Also ich finde das nicht ganz befriedigend. Die ART wird wohl kaum ein Perpetuum Mobile erlauben, oder? Also muss es wohl ein Analogon zur Energie (Drehimpuls) geben, dass erhalten bleibt. Wie siehst du das?

LG Wolfi

[Joachim]

Hallo Wolfi,

[Erik]

Aus der ART folgt aber nur die kovariante "Erhaltung"

D_m T^mn = 0

von Energie und Impuls. Dies ist genau genommen kein
Erhaltungssatz, sondern genau das Gegenteil davon.
Es gilt ja

d_m T^mn = Terme proportional zu Gamma T.

Zwischen zwei raumartigen Hyperflächen integriert ergibt das
mit dem Satz von Stokes

P^n(später) - P^n(früher) = irgendwas ungleich null, abhängig von Gamma.

Allerdings kann man in jedem Ereignis ein Bezugssystem (lokales IS)
wählen, so daß für ein hinreichend kleines Volumen die rechte Seite
kleiner als jede vorgegebene Zahl wird. Das ist aber trotzdem nicht ganz das,
was man unter lokaler Erhaltung versteht.

Es ist schon so wie Wolfi sagt: Will man aus D_m T^mn = 0
Erhaltungssätze machen, benötigt man zusätzliche Bedingungen
wie die Existenz von Killing-Feldern, also Erzeugenden von
"Isohalbmetrien" (Terminus (c) by Ralf ).

Der Grund, warum E-P-Erhaltung in der ART so heikel ist, ist,
soweit ich es verstanden habe, die Tatsache, daß das Gravitationsfeld
als seine eigene Quelle fungiert (Folge aus Nichtlinearität der Feldgleichungen).
Es läßt sich aber kein kovarianter Ausdruck für
"Energie-Impuls des Gravitationsfeldes" definieren (die Nichtkovarianz der
Zusammenhangskoeffizienten stört). Die Situation ist analog zu nichtabelschen
Eichtheorien, wo die Noether-Ströme auch nicht im gewöhnlichen Sinne,
sondern nur im "eichkovarianten" Sinne erhalten sind. Unbefriedigend
ist das sicher, aber ändern konnte bis jetzt wohl keiner so richtig etwas dran.

[Joachim]

Hallo Erik,

schön, dass man immer jemanden trifft, der sich besser auskennt.

Ist das Problem nicht auch, dass in der ART Zeit und Raum nicht unabhängig betrachtet werden können? Ein Erhaltungssatz ist ja klassisch als Verschwinden der Zeitableitung definiert. Das führt in der ART lokal zu Problemen, weil der Zeitablauf an jedem Punkt unterschiedlich ist. Ich frage mich, ob meine globale Argumentation richtig sein könnte, wenn man als Zeitmaß die Zeit für einen weit entfernten Beobachter definiert. Für diesen ist der Raum euklidisch und die Invarianz der Gesetze bezüglich einer kleinen Verschiebung aller Objekte und Felder ist gegeben.

Übersehe ich da etwas?

Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv)

[Joachim]

Hallo nochmal,

wenn ich das nochmal bedenke, hat sich eigentlich durch die ART gar nicht so viel geändert. Auch in der Newtonschen Mechanik gilt in einem irgendwie gearteten nicht symmetrischen Kraftfeld lokal weder Energie- noch Impulserhaltung. In einem konservativen Kraftfeld erreicht man Energieerhaltung durch Einführung der potentiellen Energie. Impulserhaltung lässt sich aber nur durch Einbeziehung aller beteiligter Massen erreichen.

Gruß,
Joachim
_________________
Relativitaetsprinzip.Info
(Nicht mehr in diesem Forum aktiv)

[Wolfi]

[Wolfi]

[Joachim]