Wolfgang Engelhardt und sein Unsinn mit dem Michelson-Interferometer

von Redaktion am 7. September 2014

Engelhardt-Unsinn, Folge 3: Als eingefleischter Einstein-Widerleger hat Dr. Engelhardt ein Problem mit dem Michelson-Morley Experiment, wie viele andere selbsternannte Widerleger auch. Widerspricht doch das Experiment der Hypothese eines absoluten Lichtäthers. Schon Prof. Thim hat versucht das Michelson-Morley Resultat mit nichtrelativistischer Physik zu beschreiben. Die Erklärung von Engelhardt weist noch haarsträubendere Fehler auf als jene von Prof. Thim.

Die Widerlegung von Engelhardt datiert vom Mai 2011. Offenbar war ihm dessen Absurdität bewusst, denn entgegen seiner sonstigen Gepflogenheit publizierte er diese nicht bei Arxiv.org sondern nur auf der kürzlich gehackten Webseite der NPA. RelativKritisch hat sich schon mehrfach mit Dr. Engelhardt beschäftigt und ihm nicht nur zwei Artikel gewidmet, sondern auch einen Gastbeitrag von ihm veröffentlicht. Alle drei Beiträge wurden kontrovers diskutiert. Dr. Engelhardt hat konsequent jede Kritik ignoriert und an allen seinen fehlerhaften Argumenten festgehalten. Dr. Engelhardt erweist sich damit als Prototyp des „Scientific cranks“. Egal, wie absurd und haarsträubend seine Fehler auch sein mögen, was er sagt, ist aus seiner eigenen Sicht immer richtig. Mit seiner Widerlegung des Michelson-Morley Ergebnisses wird jedoch offensichtlich, was kaum jemand noch in Zweifel gezogen hat. Dr. Engelhardt ist ein Crank wie er im Buche steht. Er ignoriert und verdreht Fakten ohne jede Rücksicht und wider besseren Wissens, mit dem einzigen Ziel, seine pseudowissenschaftliche Anti-Einstein-Propaganda voranzutreiben.

Abb. 1: Engelhardt, W., „Phase and Frequency Shift in a Michelson Interferometer,“ Natural Philosophy Alliance, 2011 (PDF-Dokument)

In der Zusammenfassung seiner Widerlegung schreibt Engelhardt (siehe Abb. 1, Übersetzung durch die Redaktion):

In dieser Arbeit wird gezeigt, dass eine klassische mechanische Trägertheorie – sei es für Licht oder sei es für Schall – tatsächlich das beobachtete Nullresultat vorhersagt. Michelson erwartete eine Verschiebung der Interferenzringe, wenn sein Interferometer im „Ätherwind“ gedreht wird. Eine solche Phasenänderung erfordert jedoch eine vorübergehende Frequenzänderung in einem der Arme des Interferometers. Da der „Ätherwind“ die Frequenz im Interferometer nicht ändert, kann sich auch keine Phasenverschiebung auftreten.

Engelhardts Behauptung, dass eine Phasenänderung eine vorübergehende Änderung der Länge der Interferometerarme erfordert, ist schlicht Unsinn. Das Michelson-Interferometer soll Lichtlaufzeitdifferenzen zwischen den beiden Armen des Interferometers messen, die durch den „Ätherwind“ verursacht werden – wenn es einen solchen gibt. Der „Ätherwind“ bestimmt die Lichtgeschwindigkeit in den Armen und damit die Laufzeit. Die Frequenz des Lichts bestimmt der Sender, also die Lichtquelle. Ganz allgemein sendet der Sender (angenommen bei x=0) ein Signal f(t), das sich ungedämpft in Richtung der x-Achse mit der Geschwindigkeit c ausbreitet (siehe Abb. 2).

Abb. 2: Ein Sender sendet einen Impuls, der sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Die rote Kurve zeigt den zeitlichen Verlauf des gesendeten Signals. Die grüne und die blaue Kurve zeigen die sich in x-Richtung bewegenden Impulse. Der blaue Impuls bewegt sich doppelt so schnell wie der grüne.

An einer beliebigen Stelle x>0 kommt das Signal nach einer gewissen Laufzeit T(x) später an. Ein Empfänger detektiert dann eine Signal f(t-T(x)). Läuft das Signal auf dem Weg vom Sender zum Empfänger mit der konstanten Geschwindgkeit c, ergibt sich T(x)=x/c und damit f(t-x/c). Macht man zu einem bestimmten Zeitpunkt t eine Momentaufnahme des Signals, so erhält man z.B. für t=0 den örtlichen Verlauf des Signals mit f(-x/c). Das ist das gespiegelte und mit 1/c skalierte gesendete Signal, je nach Zeitpunkt mehr oder weniger weit nach rechts verschoben. Je grösser die Geschwindigkeit c ist, um so mehr wird das Signal gedehnt und um so früher kommt es bei Empfänger an (siehe Abb. 2). Die Funktion

$\displaystyle \tilde{f}(t,x)=f(t-\frac{x}{c})$

(1)

ist übrigens eine allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung

$\displaystyle \frac{\partial^2 \tilde{f}}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2 \tilde{f}}{\partial t^2}=0,$

(2)

wie man durch Nachrechnen prüfen kann.

Für das Michelson-Interferometer wurde nun monochromatisches Licht, also eine harmonische Schwingung, als Signal verwendet mit dem auch Dr. Engelhardt seine Rechnung durchgeführt hat:

$\displaystyle f(t)=-A\sin(\omega t)=A\sin(-\omega t).$

(3)

Beim Empfänger an der Stelle x>0 erhalt man damit

$\displaystyle f(t-\frac{x}{c})=-A\sin(\omega(t-\frac{x}{c}))=A\sin(-\omega(t-\frac{x}{c}))$

(4)

und weiter

$\displaystyle A\sin(-\omega(t-\frac{x}{c}))=A\sin(\frac{\omega}{c}x-\omega t)=A\sin(kx-\omega t)$

(5)

Wobei

$\displaystyle k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}$

(6)

der Wellenvektor ist. $\lambda=2\pi c/\omega$ ist die Wellenlänge, die bei vom Sender vorgegebener Kreisfrequenz $\omega$ von der Geschwindigkeit $c$ abhängt. Je grösser $c$ ist, um so grösser ist die Wellenlänge $\lambda$ (siehe Abb. 3).

Der Sender sendet ein Sinussignal mit der Frequenz ω (rote Kurve), das sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreitet (grüne und blaue Kurve). Das blaue Signal läuft doppelt so schnell wie das rote Signal und hat daher die doppelte Wellenlänge.

Abb. 3: Der Sender sendet ein Sinussignal mit der Frequenz ω (rote Kurve), das sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreitet (grüne und blaue Kurve). Das blaue Signal läuft doppelt so schnell wie das rote Signal und hat daher die doppelte Wellenlänge.

Die Phasenverschiebung zwischen gesendetem und empfangenem Signal in einem Interferometerarm mit der Länge L erhält man mit dem mittleren Term in Gl. (4) zu

$\displaystyle -A\sin(\omega(t-\frac{2L}{c_i}))=-A\sin(\omega t - \varphi_i),$

(7)

$\displaystyle \varphi_i=2L\frac{\omega}{c_i}=4\pi L\frac{1}{\lambda_i},$

(8)

wobei $c_i$ die mittlere Geschwindigkeit im jeweiligen Arm des Interferometers ist. Zwischen den beiden Signalen mit den Geschwindigkeiten $c_1$ und $c_2$ ergibt sich dann eine Phasendifferenz von

$\displaystyle \Delta\varphi=\varphi_1-\varphi_2=2L\omega(\frac{1}{c_1}-\frac{1}{c_2})=4\pi L(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}).$

(9)

Wird das Interferometer um 90° gedreht, wird $\Delta\varphi$ zu $-\Delta\varphi$ und die gesamte Phasenverschiebung für die Interferenzringe ergibt sich zu $\Delta\phi=2\Delta\varphi$ .

Dr. Engelhardt behauptet nun, dass $\Delta\phi=0$ sein muss, da $\lambda$ von der Signalgeschwindigkeit unabhängig sei ( $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ ) und führt dazu in seiner Widerlegung einen geradezu aberwitzigen „Beweis“ an (siehe Abb. 4).

Unbrauchbares Räderbeispiel von Engelhardt auf Seite 4 in „Phase and Frequency Shift in a Michelson Interferometer,“ Natural Philosophy Alliance, 2011

Abb. 4: Unbrauchbares Räderbeispiel von Engelhardt auf Seite 4 in „Phase and Frequency Shift in a Michelson Interferometer,“ Natural Philosophy Alliance, 2011 (siehe Abb. 1)

Er vergleicht dazu den Sachverhalt im Interferometer mit den beiden Rädern auf einer Achse. Doch die Räder auf der Achse haben eine fixe „Wellenlänge“, nämlich ihren Umfang. Der ändert sich naturgemäss nicht, wenn das Auto schneller oder langsamer fährt. Deshalb müssen sich die Räder schneller drehen (eine höhere Frequenz haben), wenn das Auto schneller fährt. Beim Interferometer hängt die Wellenlänge jedoch sehr wohl von der Signalgeschwindigkeit ab (siehe Gl. (8)). Engelhardts „Beweis“ ist völlig unbrauchbar und seine Widerlegung löst sich in Luft auf.

Damit zeigt Dr. Engelhardt einmal mehr, dass ihm für seine Crackpot-Physik kein Unsinn zu absurd ist. Mit Wissenschaft haben seine Pamphlete nichts zu. Was Dr. Engelhardt bewegt, diesen Nonsens zu veröffentliche, obwohl er es als promovierter Physiker besser wissen muss, bleibt jedem selbst überlassen zu beurteilen.

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2.631 Kommentare | Kommentar schreiben

#1501 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 21. März 2016, 18:10

Martin Raible schrieb am 21. März 2016, 11:52:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 20. März 2016, 22:52:

Martin Raible schrieb am 20. März 2016, 09:33:

…Das setzen wir in die Gleichung für $\phi$ ein und erhalten: $\phi=\pi\left(1+\frac{3}{2}\alpha\frac{1}{a(1-e^2)}\right)$ . Und das ist Gleichung (12).

Bravo! Aber die niemals korrigierte Rechnung von Einstein lautet: $\displaystyle \left[{{1+\alpha \left( {\alpha _1 +\alpha _2 } \right)}}\right]\int\limits_{\alpha _1 }^{\alpha _2 } {\frac{\left( {1+{\alpha \,x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha \,x} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} \right)dx}{\sqrt {-\left( {x-\alpha _1 } \right)\left( {x-\alpha _2 } \right)}}}=\pi\left[1+\frac{5}{4}\alpha \left(\alpha _1 +\alpha _2\right)\right]+O\left(\alpha ^2\right)\newline\ne\pi\left(1+\frac{3}{2}\alpha\frac{1}{a(1-e^2)}\right)$
Warum hat er wohl das richtige Ergebnis hingeschrieben? Weil Gerber ihm die Vorlage geliefert hat. Schwarzschild konnte die „wunderbare Geschichte“ auch nicht verstehen.

Sie haben Ihren Plagiatsvorwurf nicht bewiesen. Zwei falsche Formeln zwischen Gl. (11) und Gl. (12) beweisen kein Plagiat. Sie haben nicht widerlegt, dass es sich um Druckfehler handelt. Oder um Übertragungsfehler, als Einstein seine Formeln vom Rechenblatt in das Manuskript übertrug. Einstein kannte Gleichung (12), weil sie aus Gleichung (11) folgt. Er hat nicht abgeschrieben.

Einstein war also unfähig, sein eigenes Papier im Druck zu lesen. Als er 1920 seine Theorie vehement gegenüber Gehrcke verteidigte, fiel ihm kein Druckfehler auf, den er an dieser Stelle leicht hätte korrigieren und dann z.B. auf Ihre Rechnung verweisen können. Statt dessen unterstellte er Gerber Rechenfehler, obwohl man aus dessen angenommenem Potential sehr wohl die Gerber-Formel in erster Ordnung berechnen konnte, wie u.a. Kevin Brown nachgewiesen hat. Warum Einsteins unbegründeter Angriff und warum kein einziges Wort der Erklärung, weshalb Gerber die Formel 17 Jahre vor Einstein finden konnte, wenn sowohl seine Annahmen als auch seine Rechnungen „völlig wertlos“ waren??

Ganz offensichtlich hat sich Einstein auf die Gerber-Formel hingerechnet, denn es besteht nicht der leiseste Grund, Terme der Ordnung v²/c² in der Masse zu vernachlässigen, in der Eigenzeit aber mitzunehmen. Die jeweiligen Beiträge zur Periheldrehung sind von vergleichbarer Größenordnung.

Es bleibt Ihr Geheimnis, weshalb Sie nichts gegen Einsteins Plagiate von 1905 und 1911 einzuwenden haben, jenes von 1915 aber hartnäckig verleugnen. Ganz unabhängig von Einsteins albernen Einlassungen im Berliner Tageblatt wird allgemein in der Wissenschaft verlangt, dass man Vorarbeiten auf dem gleichen Gebiet – schon gar bei gleichem Ergebnis – kennen und zitieren muss. Wenn nicht, reicht es nicht einmal zum Verteidigungsminister, geschweige denn zum hochberühmten Wissenschaftler.

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#1502 | Martin Raible | 21. März 2016, 18:54

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 20. März 2016, 23:30:

Herr Senf schrieb am 19. März 2016, 00:50:

Dr. Engelhardt, Hülfe …

nicht die Teilchen hätten eine geschwindigkeitsabhängige Masse, sondern
die Zentralmasse müßte auf die Teilchengeschwindigkeit „antworten“

M_PN = 1/2( ρv²) + 3(ρΦ) , was v und Φ sind, verrate ich nicht.

Haben Sie in den letzten 20 Jahren schonmal vom post-Newton-Formalismus gehört?

Übrigens Corda http://vixra.org/abs/1603.0235 hat Crothers Crackpotteryfehler vorgeführt.

In diesem Forum können Sie wohl keine Hülfe bekommen. Schon eher in Paulis Enzyklopädie-Artikel. Dort lesen Sie auf S. 712:

Die Bewegungsgleichung (80) für den Massenpunkt läßt eine beträchtliche Vereinfachung zu, wenn die Geschwindigkeit des Massenpunkts
klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist, so daß Größen von der Ordnung v²/c² vernachlässigt werden können.

Unter dieser Voraussetzung berechnet er die Periheldrehung, begeht aber auf S. 713 die Inkonsistenz, Terme der Größenordnung v²/c² in der „Eigenzeit“ sehr wohl zu berücksichtigen. Denselben Fehler machen Einstein und Schwarzschild und – nicht zu vergessen – Raible.

Wo ist Einsteins Behandlung der Periheldrehung inkonsistent? Bitte sagen Sie das genauer. Und wie komme ich zu der Ehre, in dieser Aufzählung aufzutauchen? Ich habe bis jetzt doch nur einen alternativen Weg von Gl. (11) zu Gl. (12) von Einsteins Paper präsentiert.

Würde man die Terme zweiter Ordnung grundsätzlich vernachlässigen, wie Sie vorschlagen, so ginge die ART bei geringer Raumkrümmung nicht in die SRT über, wo die Masse bekanntlich geschwindigkeitsabhängig ist, was durch das Experiment durchaus bestätigt wird.

Auf S. 736 schließlich beschreibt Pauli eine Rechnung für beliebig schnelle, wenngleich hinreichend kleine Massen, die auf Einstein zurückgeht. Hieraus folgt dann eine Wellengleichung (442), mit deren Hilfe Gravitationswellen beschrieben werden sollen. Daraus folgt, dass auch innerhalb der ART im Allgemeinen nicht mit m = const gerechnet werden kann, obwohl man nach Ihrer Meinung damit eine Bauchlandung macht. Welcher Art die ist, haben Sie nicht geschrieben.

In Landau/Lifschitz „Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie“ finden Sie Gl. (90,7), die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im Gravitationsfeld und elektromagnetischen Feld. Diese lautet:
$mc\left(\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l\right)=\frac{e}{c}F^{ik}u_k$
Dabei ist m die Ruhemasse, e die elektrische Ladung, $u^i=dx^i/ds$ die Vierergeschwindigkeit. Die $\Gamma^i_{kl}$ sind die Christoffel-Symbole, d. h. die Komponenten des Gravitationsfeldes. $F^{ik}$ ist ein antisymmetrischer Tensor (d. h. es gilt $F^{ik}=-F^{ki}$ ), der die Komponenten des elektromagnetischen Feldes enthält. Jetzt betrachten wir zwei Grenzfälle:

1) Verschwindende elektromagnetische Kraft (d. h. $e=0$ oder $F^{ik}=0$ ): Dann lautet die Bewegungsgleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ . Das ist die Geodäten-Gleichung.

2) Der Grenzfall der SRT: Dann ist der metrische Tensor $g_{ik}$ orts- und zeitunabhängig, so dass die Christoffel-Symbole verschwinden. Der metrische Tensor hat die Komponenten $g_{00}=1$ , $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$ und $g_{ik}=0$ für $i\neq k$ . Die Bewegungsgleichung lautet:
$mc\frac{du^i}{ds}=\frac{e}{c}F^{ik}u_k$
Das kann man mit $ds/dt$ multiplizieren und erhält:
$mc\frac{du^i}{dt}=\frac{e}{c}F^{ik}\frac{dx_k}{dt}$
Jetzt gilt $u^i=\frac{dx^i}{ds}=\frac{dx^i/dt}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$ mit der Geschwindigkeit $v^l=dx^l/dt$ für $l\in\{1,2,3\}$ . Die Bewegungsgleichung lautet daher:
$m\frac{d}{dt}\left(\frac{dx^i/dt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\frac{e}{c}F^{ik}\frac{dx_k}{dt}$
Ist $i\in\{1,2,3\}$ , so erkennt man, dass der Impuls nicht die Form $p^i=mv^i$ sondern $p^i=mv^i/\sqrt{1-v^2/c^2}$ besitzt. D. h. es gilt der aus der SRT bekannte nichtlineare Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit, was auch als geschwindigkeitsabhängige Masse $M=m/\sqrt{1-v^2/c^2}$ zusammen mit $p^i=Mv^i$ interpretiert werden kann.

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#1503 | Herr Senf | 21. März 2016, 21:20

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 21. März 2016, 18:10:
… Ganz offensichtlich hat sich Einstein auf die Gerber-Formel hingerechnet, denn es besteht nicht der leiseste Grund, Terme der Ordnung v²/c² in der Masse zu vernachlässigen, in der Eigenzeit aber mitzunehmen. Die jeweiligen Beiträge zur Periheldrehung sind von vergleichbarer Größenordnung. …

Dr. Engelhardt wundert sich doch eher darüber, warum die Testmasse m verschwindet.
Der relativistische Viererimpuls p₄=m*u₄=m*y*v₃ scheint das Verwirrspiel zu sein, wobei m*(y*v₃) zu rechnen ist, (m*y)*v₃ iS M*v₃ bzw. M=y*m ist physikalisch unbestimmt.

Anstelle der komplizierten Perihel-Ellipsen reicht doch der Geradeausfall.
Eine Testmasse beschleunige mit a, so wie „sie“ es im Eigensystem mißt/spürt.

1. Aus Newton F = m*a ergibt sich m*a = m*dv/dt, Lösung ist a = dv/dt, „m“ ist raus.

2. In der SRT hat man die Bewegungsgleichung analog aus der Vierer-Minkowski-Kraft zu lösen K₄ = m * du₄/dτ , wobei K₄ = y*F = y*m*a und „m“ ist wieder raus.

und 3. sieht man es relativ einfach, daß irgendwann ein y-Faktor einmal übrigbleibt 😉
Dr. Engelhardt, haben Sie schonmal mit der Minkowski-Kraft gerechnet?

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#1504 | galileo2609 | 21. März 2016, 22:33

Engelhardt,

Wolfgang Engelhardt schrieb am 21. März 2016, 18:10:
Es bleibt Ihr Geheimnis, weshalb Sie nichts gegen Einsteins Plagiate von 1905 und 1911 einzuwenden haben

wie intellektuell degeneriert muss man sein, um zu solchen manipulativen Mitteln zu greifen? Für das Protokoll: belegen sie ihre Plagiatsvorwürfe auch in diesen Fällen in wissenschaftlicher Qualität.

jenes von 1915 aber hartnäckig verleugnen.

Tragen sie endlich Beweise für diesen Plagiatsvorwurf vor. Ihre lächerlichen Spekulationen erreichen nicht einmal die Nähe zu einer in sich schlüssigen Indizienkette.

Grüsse galileo2609

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#1505 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 22. März 2016, 00:44

galileo2609 schrieb am 21. März 2016, 22:33:

Engelhardt,

Wolfgang Engelhardt schrieb am 21. März 2016, 18:10:
Es bleibt Ihr Geheimnis, weshalb Sie nichts gegen Einsteins Plagiate von 1905 und 1911 einzuwenden haben

wie intellektuell degeneriert muss man sein, um zu solchen manipulativen Mitteln zu greifen? Für das Protokoll: belegen sie ihre Plagiatsvorwürfe auch in diesen Fällen in wissenschaftlicher Qualität.

jenes von 1915 aber hartnäckig verleugnen.

Tragen sie endlich Beweise für diesen Plagiatsvorwurf vor. Ihre lächerlichen Spekulationen erreichen nicht einmal die Nähe zu einer in sich schlüssigen Indizienkette.

Grüsse galileo2609

Man braucht keine „Indizienkette“. Die Fakten, dass Einstein 1905 Voigt nicht zitiert hat, 1911 Soldner nicht zitiert hat und 1915 Gerber nicht zitiert hat, erfüllen bereits den Tatbestand des Plagiats.

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#1506 | Herr Senf | 22. März 2016, 10:45

Dr. Engelhardt, Sie wissen aber schon

1. daß Soldner nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz gerechnet hat
2. daß Einstein 1911 mit der noch unfertigen ART gerechnet hat, 1913 verwarf

und Ihnen ist doch wohl nicht entgangen, daß Soldner masseunabhängig gerechnet hat, der wußte schon damals von Ihrer vermißten Testmasse.

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#1507 | nocheinPoet | 22. März 2016, 16:31

Wolfgang Engelhardt schrieb am 21. März 2016, 18:10:
… Einsteins Plagiate von 1905 und 1911 …

Wie üblicher verwechseln sie in ihrer grenzenlosen Arroganz und Selbstverliebtheit wiederholt ihre persönliche und rein subjektive Meinung mit anerkannten Tatsachen. Und wie üblich versuchen sie erstere als letzteres zu verkaufen.

Vermutlich ist das weiterhin Ausbleiben von Anerkennung und Zuspruch, sowie alleine nur mal in der Fachwelt wahrgenommen zu werden, schmerzlich und sehr demütigend für sie. Dass sie aber nun mal einfach keine echte Resonanz erzeugen können, außer unter dummen Cranks wie Lopez und in dem Blog KSzR, sollte ihnen echt mal zu denken geben.

Schade das sie sich nicht für einen Bergsteigexperten halten und meinen den Everest alleine im T-Shirt und ohne Sauerstoff im Handstand bezwingen zu können, das Elend mit ihnen hätte hier da längst ein Ende gefunden.

Es bleibt dabei, sie sind und bleiben einfach nur ein dummer Hetzer, unfähig die eigenen Grenzen im Begreifen von physikalischen Gegebenheit zu akzeptieren. Einfach armselig.

Wie auch ihre Nummer mit dem richtigen Namen, was haben sie hier ein Fass wegen meinem Namen aufgemacht, von wegen anonym und so, nachdem ich ihnen nun meinen Namen (der eh nicht geheim war) offenbart habe und gefragt, in wie weit ihnen das nun weiterhilft oder was es nun konkret hier ändert, haben sie feige geschwiegen und den Schwanz eingekniffen.

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#1508 | Martin Raible | 23. März 2016, 22:13

Mir ist beim Durcharbeiten von Einsteins Artikel „Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie“ neben einigen Druckfehlern noch ein methodischer Fehler aufgefallen, über den ich jetzt berichten will. Erstaunlicherweise ändert die Bereinigung dieses Fehler nichts am Endergebnis.

Und zwar leitet Einstein auf Seite 836 die Gleichung her: $\frac{d^2x_4}{ds^2}=-\frac{dg_{44}}{ds}\frac{dx_4}{ds}$ . Die Lösung davon lautet: $\ln\left(\frac{dx_4}{ds}\right)=-g_{44}+C=C-1+\frac{\alpha}{r}$ mit einer Integrationskonstanten C. Daraus folgt in Größen erster Ordnung: $\frac{dx_4}{ds}=e^{C-1}\left(1+\frac{\alpha}{r}\right)$ . Erstaunlicherweise setzt Einstein C=1, indem er behauptet: $\frac{dx_4}{ds}=1+\frac{\alpha}{r}$ . Das ist unbegründet und, wie sich zeigen wird, auch falsch.

Und zwar verwenden wir die Gleichung $g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=1$ zusammen mit Gleichung (4b). Dabei nehmen wir an, dass die Produkte $\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}$ mit $\mu, \nu\in\{1,2,3\}$ als Größen erster Ordnung anzusehen sind. Wir erhalten: $1=\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)\left(\frac{dx_4}{ds}\right)^2-\left(\frac{dr}{ds}\right)^2-r^2\left(\frac{d\Theta}{ds}\right)^2$ . Daraus folgt mit der ersten von Gl. (8): $1+2A+\frac{\alpha}{r}=\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)\left(\frac{dx_4}{ds}\right)^2$ . Wir erhalten in Größen erster Ordnung: $\frac{dx_4}{ds}=(1+A)\left(1+\frac{\alpha}{r}\right)$ . Also ist die Annahme C=1 falsch.

Jetzt berechnen wir für die ersten drei Gleichungen (7) deren rechte Seite. Unter Punkt a) auf Seite 836 erhalten wir statt $\Gamma^{\nu}_{44}\left(\frac{dx_4}{ds}\right)^2=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}\left(1+\frac{\alpha}{r}\right)$ nun $\Gamma^{\nu}_{44}\left(\frac{dx_4}{ds}\right)^2=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}\left(1+2A+\frac{\alpha}{r}\right)$ . Und statt Gl. (7b) erhalten wir nun: $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}\left(1+2A+\frac{\alpha}{r}+2u^2-3\left(\frac{dr}{ds}\right)^2\right)$ . Daraus folgt mit der ersten der Gleichungen (8) und der Gleichung (10): $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}\left(1+\frac{3B^2}{r^2}\right)$ . Und das ergibt: $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$ mit $\phi=-\frac{\alpha}{2r}\left(1+\frac{B^2}{r^2}\right)$ . Und das ist, nachdem ein Druckfehler in Gl. (7c) beseitigt wurde, die Gleichung (7c).

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#1509 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 23. März 2016, 22:25

Martin Raible schrieb am 21. März 2016, 18:54:
In Landau/Lifschitz „Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie“ finden Sie Gl. (90,7), die Bewegungsgleichung für ein Teilchen im Gravitationsfeld und elektromagnetischen Feld. Diese lautet:
$mc\left(\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l\right)=\frac{e}{c}F^{ik}u_k$
Dabei ist m die Ruhemasse, e die elektrische Ladung, $u^i=dx^i/ds$ die Vierergeschwindigkeit. Die $\Gamma^i_{kl}$ sind die Christoffel-Symbole, d. h. die Komponenten des Gravitationsfeldes. $F^{ik}$ ist ein antisymmetrischer Tensor (d. h. es gilt $F^{ik}=-F^{ki}$ ), der die Komponenten des elektromagnetischen Feldes enthält. Jetzt betrachten wir zwei Grenzfälle:

1) Verschwindende elektromagnetische Kraft (d. h. $e=0$ oder $F^{ik}=0$ ): Dann lautet die Bewegungsgleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ . Das ist die Geodäten-Gleichung.

2) Der Grenzfall der SRT: Dann ist der metrische Tensor $g_{ik}$ orts- und zeitunabhängig, so dass die Christoffel-Symbole verschwinden. Der metrische Tensor hat die Komponenten $g_{00}=1$ , $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$ und $g_{ik}=0$ für $i\neq k$ . Die Bewegungsgleichung lautet:
$mc\frac{du^i}{ds}=\frac{e}{c}F^{ik}u_k$
Das kann man mit $ds/dt$ multiplizieren und erhält:
$mc\frac{du^i}{dt}=\frac{e}{c}F^{ik}\frac{dx_k}{dt}$
Jetzt gilt $u^i=\frac{dx^i}{ds}=\frac{dx^i/dt}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$ mit der Geschwindigkeit $v^l=dx^l/dt$ für $l\in\{1,2,3\}$ . Die Bewegungsgleichung lautet daher:
$m\frac{d}{dt}\left(\frac{dx^i/dt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\frac{e}{c}F^{ik}\frac{dx_k}{dt}$
Ist $i\in\{1,2,3\}$ , so erkennt man, dass der Impuls nicht die Form $p^i=mv^i$ sondern $p^i=mv^i/\sqrt{1-v^2/c^2}$ besitzt. D. h. es gilt der aus der SRT bekannte nichtlineare Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit, was auch als geschwindigkeitsabhängige Masse $M=m/\sqrt{1-v^2/c^2}$ zusammen mit $p^i=Mv^i$ interpretiert werden kann.

Da halte ich mich lieber ans Original, bzw. an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht. In Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, ging er offenbar von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, wobei er das Gravitationspotential geschwindigkeitsabhängig modifizierte:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$
Für die Masse setzte er $m=m_0$ , weil er ${v^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{v^2} {c^2\ll 1}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c^2\ll 1}$ annahm. Damit konnte er die Ruhemasse herauskürzen und er erhielt nach skalarer Multiplikation mit $\vec {v}$ und Integration über die Zeit:
$\displaystyle v^2=2\left( {W+\frac{\alpha }{r}} \right)+2\frac{\alpha }{r}\frac{v_\phi ^2 }{c^2}$

Aus der Erhaltung des Drehimpulses
$\displaystyle \vec {r}\times \frac{d\left( {m\vec {v}} \right)}{dt}=0$
ergab sich wie üblich die zweite Integrationskonstante:
$\displaystyle v_\phi =\frac{M}{r\,m}$
Zusammen mit
$\displaystyle v_r =\frac{dr}{d\phi }\frac{v_\phi }{r}$
erhielt er nach der Substitution $r=1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 x}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} x$ schließlich:
$\displaystyle \left( {\frac{dx}{d\phi }} \right)^2+x^2=\frac{m^2}{M^2}\left( {2\,W+2\,\alpha \,x} \right)+\frac{2\,\alpha }{c^2}\,x^3$
Gegenü}ber der üblichen Nomenklatur zog er es vor zu schreiben:
$\displaystyle M=B\,m\,c\;,\quad W=A\,c^2\;,\quad \alpha =\alpha _E \,{c^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{c^2} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2$
so dass sich seine Differentialgleichung (11) ergab:
$\displaystyle \left( {\frac{dx}{d\phi }} \right)^2+x^2=\frac{1}{B^2}\left( {2\,A+\alpha _E \,x} \right)+\alpha _E \,x^3$

Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit in 2. Ordnung $\displaystyle {v^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{v^2} {c^2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c^2}$ sowohl bei der Energieerhaltung als auch bei der Drehimpulserhaltung, so erhält man noch einen Zusatzterm
$\displaystyle \left( {\frac{dx}{d\phi }} \right)^2+x^2=\frac{1}{B^2}\left( {2\,A+\alpha _E \,x} \right)+\frac{1}{2\,B^2}\left( {2\,A+\alpha _E \,x} \right)^2+\alpha _E \,x^3$
der von vergleichbarer Größenordnung wie Einsteins Korrekturterm am Gravitationspotential ist.

Die Notwendigkeit, eine geschwindigkeitsabhängige Masse anzunehmen, ergibt sich sofort, wenn Sie ein Teravolt-Höhenstrahlungsteilchen auf einer schnurgeraden „Geodäten“ in ein Gravitationszentrum stürzen lassen. Die Bewegungsgleichung mit konstanter Masse $m_0$ liefert:
$\displaystyle v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$
Damit erreichen Sie locker eine Überlichtgeschwindigkeit mit imaginärer „Zeitdilatation“, weil $v_r \left( \infty \right)\simeq c$ . Das kann Ihnen auch nicht gefallen.

Wenn das Teilchen geladen ist und das Gravitationszentrum auch, dann müssen Sie natürlich mit der Bewegungsgleichung
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{m_0 v_r }{\sqrt {1-{v_r^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{v_r^2 } {c^2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c^2}} }=\frac{m_0 M_0 G}{r^2\sqrt {1-{v_r^2 } \mathord{\left/ {\vphantom {{v_r^2 } {c^2}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {c^2}} }+\frac{q\,Q_0 }{4\pi \,\varepsilon _0 \,r^2}$
arbeiten, wie Sie es in der Elektrodynamik selbstverständlich tun.

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#1510 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 23. März 2016, 23:01

Herr Senf schrieb am 21. März 2016, 21:20:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 21. März 2016, 18:10:
… Ganz offensichtlich hat sich Einstein auf die Gerber-Formel hingerechnet, denn es besteht nicht der leiseste Grund, Terme der Ordnung v²/c² in der Masse zu vernachlässigen, in der Eigenzeit aber mitzunehmen. Die jeweiligen Beiträge zur Periheldrehung sind von vergleichbarer Größenordnung. …

Dr. Engelhardt wundert sich doch eher darüber, warum die Testmasse m verschwindet.
Der relativistische Viererimpuls p₄=m*u₄=m*y*v₃ scheint das Verwirrspiel zu sein, wobei m*(y*v₃) zu rechnen ist, (m*y)*v₃ iS M*v₃ bzw. M=y*m ist physikalisch unbestimmt.

Anstelle der komplizierten Perihel-Ellipsen reicht doch der Geradeausfall.
Eine Testmasse beschleunige mit a, so wie „sie“ es im Eigensystem mißt/spürt.

1. Aus Newton F = m*a ergibt sich m*a = m*dv/dt, Lösung ist a = dv/dt, „m“ ist raus.

2. In der SRT hat man die Bewegungsgleichung analog aus der Vierer-Minkowski-Kraft zu lösen K₄ = m * du₄/dτ , wobei K₄ = y*F = y*m*a und „m“ ist wieder raus.

und 3. sieht man es relativ einfach, daß irgendwann ein y-Faktor einmal übrigbleibt 😉
Dr. Engelhardt, haben Sie schonmal mit der Minkowski-Kraft gerechnet?

Nein! Denn sie macht keinen Sinn. Feynman drückt das mit den Worten aus:

Summarizing, our equation of motion can be written in the elegant form
$\displaystyle m_0 \frac{d^2x_\mu}{ds^2}=f_\mu=q\,u_\nu \,F_{\mu\,\nu}$
Although it is nice to see that the equation can be written that way, this form is not particularly useful. It´s usually more convenient to solve for particle motions by using the original equations (26.24)
[ $\frac{d}{dt}\left(\frac{ m_0\,\vec v\, }{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\vec F= q\,\left( \vec E+\vec v \times \vec B \right)$ ],
and that´s what we will usually do.

Siehe auch hier:
http://www2.uni-siegen.de/~flieba/pdf/newton.pdf
oder hier:
http://redshift.vif.com/JournalFiles/V11NO2PDF/V11N2ENG.PDF

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#1511 | Martin Raible | 24. März 2016, 01:52

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:

Da halte ich mich lieber ans Original, bzw. an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht. In Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, ging er offenbar von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, wobei er das Gravitationspotential geschwindigkeitsabhängig modifizierte:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$

Ich weiß leider nicht, welche Gleichung aus Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, das sein soll. Bitte geben Sie die Gleichungsnummer an.

…

Die Notwendigkeit, eine geschwindigkeitsabhängige Masse anzunehmen, ergibt sich sofort, wenn Sie ein Teravolt-Höhenstrahlungsteilchen auf einer schnurgeraden „Geodäten“ in ein Gravitationszentrum stürzen lassen. Die Bewegungsgleichung mit konstanter Masse $m_0$ liefert:
$\displaystyle v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$
Damit erreichen Sie locker eine Überlichtgeschwindigkeit mit imaginärer „Zeitdilatation“, weil $v_r \left( \infty \right)\simeq c$ . Das kann Ihnen auch nicht gefallen.

Dass diese Gleichung aus der Geodätengleichung folgt, haben Sie auch nicht gezeigt. Aus der Geodätengleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ folgt, dass $u^i$ beliebig groß werden kann. Daraus folgt aber keine Überlichtgeschwindigkeit, denn $u^i=dx^i/ds$ ist ja die Vierergeschwindigkeit und nicht die „normale“ Geschwindigkeit.

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#1512 | Martin Raible | 24. März 2016, 03:23

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:

Da halte ich mich lieber ans Original, bzw. an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht. In Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, ging er offenbar von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, wobei er das Gravitationspotential geschwindigkeitsabhängig modifizierte:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$

Ich weiß leider nicht, welche Gleichung aus Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, das sein soll. Bitte geben Sie die Gleichungsnummer an.

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

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#1513 | ralfkannenberg | 24. März 2016, 10:10

Ich kann nicht verstehen, warum Ihr diesem Selbstdarsteller, dem es nur um die Verbreitung einfach widerlegbarter Thesen geht, eine solche Plattform bietet. Da muss ja der fachfremde Leser geradezu denken, es gäbe zu diesem Thema auch heutzutage noch Diskussionsbedarf.

Wenn Herr Dr.Engelhardt lehren möchte, dass der Mond viereckig ist und aus Schweizer Käse besteht, so ist das sein gutes Recht, dies zu tun. Und wenn er aufgrund seines Rufes einen zugehörigen Artikel auf arXiv platziert kriegt, so nutzt er letztlich nur die schlechte Qualitätskontrolle für unkonpliziert und schnell verfügbare Preprints für seine Zwecke aus. Das ist zwar schade, weil diese Möglichkeit der raschen und unkomplizierten Kommunikation verschwinden wird, wenn sie von zuvielen Leuten missbraucht wird, aber er kann das tun. Hier würden übrigens administrative Massnahmen seitens arXiv das Problem zwanglos beheben.

Wenn nun die Peer Revisoren eines seriösen Journals solche Thesen nicht gutheissen, weil sie diese ja einfach widerlegen können, so ist das auch deren gutes Recht, das zu tun,

Wenn Herr Dr.Engelhardt dann solche Revisoren als „Zensoren“ bezeichnet, dann ist das der Ausdruck seiner Meinungsfreiheit, und es steht dann den Revisoren selbstverständlich frei, geeignete Massnahmen zu ergreifen oder – wegen der Geringfügigkeit des Sachverhalts – auch nicht.

Aber eine Plattform würde ich diesem Unsinn nicht geben und es ist nun auch unschwer vorauszusehen, dass Herr Dr.Engelhardt mich in vollumfänglicher Ignorierung der vorherigen zahlreichen Beiträge nun fragen wird, „wo“ er denn Unsinn geschrieben habe. – Aber auch ein solcher durchsichtiger Versuch, erneut Plattform zu erhalten, sollte nicht gewährt werden.

Freundliche Grüsse, Ralf

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#1514 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 24. März 2016, 15:30

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 03:23:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:

Da halte ich mich lieber ans Original, bzw. an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht. In Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, ging er offenbar von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, wobei er das Gravitationspotential geschwindigkeitsabhängig modifizierte:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$

Ich weiß leider nicht, welche Gleichung aus Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, das sein soll. Bitte geben Sie die Gleichungsnummer an.

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

Die Modifikation des Potentials hat Einstein in (7c) vorgenommen. Sie müssen nur einsetzen B = M/(m c) und die Erhaltung des Drehimpulses fordern: $m \,r \,v_\phi = M$ . Letztere folgt natürlich aus der Newtonschen Bewegungsgleichung, wenn die Kraft auf die Masse proportional zum Gradienten des kugelsymmetrischen Potentials ist.

Einstein leitet aus (7) die Newtonsche Bewegungsgleichung in integrierter Form ab (8), wobei er anschließend noch einen Korrekturterm für das Potential aus (7) herleitet, um (7c) zu erhalten. Dieser Term ist von der Ordnung $v_\phi^2/c^2$ und damit von der gleichen Größenordnung wie die Terme $v^2/c^2$ in der Massenformel, die er mit dem Argument vernachlässigt: „Wenn nämlich die Bewegung des Punktes mit gegen die Lichtgeschwindigkeit kleiner Geschwindigkeit stattfindet…“ Unter diesen Umständen gilt tatsächlich (8) und (8a), doch in 2.Ordnung lässt sich offenbar aus (7) die korrekte Massenformel nicht mehr gewinnen, weil wegen $v^2/c^2=0$ die Masse aus der Bewegungsgleichung, welche (7) zugrunde liegt, herausgefallen ist. Pauli wusste immerhin, dass es sich hier um eine Näherung handelt, wie er mehrfach (S. 707, S. 712) betont.

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#1515 | ralfkannenberg | 24. März 2016, 16:01

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 15:30:
Pauli wusste immerhin, dass es sich hier um eine Näherung handelt, wie er mehrfach (S. 707, S. 712) betont.

Immerhin ? Jeder Mathematik-Student im 1.Semester weiss so etwas. Ihrer Wortwahl nach zu urteilen hatten Sie bislang aber noch keine Kenntnis von diesem Phänomen, vermutlich war das nicht Gegenstand Ihrer Ausbildung.

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#1516 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 24. März 2016, 16:23

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dass diese Gleichung aus der Geodätengleichung folgt, haben Sie auch nicht gezeigt. Aus der Geodätengleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ folgt, dass $u^i$ beliebig groß werden kann. Daraus folgt aber keine Überlichtgeschwindigkeit, denn $u^i=dx^i/ds$ ist ja die Vierergeschwindigkeit und nicht die „normale“ Geschwindigkeit.

Und welche „normale“ Geschwindigkeit folgt denn nun aus Ihrer Geodätengleichung bei verschwindendem Drehimpuls (B = 0), wenn nicht $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ ?

Woher wollen Sie eigentlich wissen, welche Energie ein Teilchen hat, das sich auf einer geodätischen Linie bewegt? Sicher ist sie nicht konstant, wie das Beispiel der geraden Geodäte zeigt.

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#1517 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 24. März 2016, 19:26

ralfkannenberg schrieb am 24. März 2016, 16:01:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 15:30:
Pauli wusste immerhin, dass es sich hier um eine Näherung handelt, wie er mehrfach (S. 707, S. 712) betont.

Immerhin ? Jeder Mathematik-Student im 1.Semester weiss so etwas. Ihrer Wortwahl nach zu urteilen hatten Sie bislang aber noch keine Kenntnis von diesem Phänomen, vermutlich war das nicht Gegenstand Ihrer Ausbildung.

Wunderbar! Dann wissen Sie nach abgeschlossenem Mathematikstudium sicher auch, warum Einstein Terme der Größenordnung $v_\phi^2/c^2$ bei der Periheldrehung berücksichtigt, solche der Größenordnung $v^2/c^2$ aber vernachlässigt, obwohl deren Einfluss auf das Phänomen genauso wenig vernachlässigbar ist.

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#1518 | galileo2609 | 24. März 2016, 22:43

Engelhardt

Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:
Da halte ich mich lieber […] an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht.

nachdem Wolfgang Pauli in seinem nach wie vor geschätzten Artikel in der „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften“ (1921) Einsteins Formel zur Periheldrehung des Mekur aus dessen Arbeit [Ein15] problemlos rekonstruiert, findet Pauli auch zu einer Einschätzung der Ausarbeitungen Gerbers (p. 732), die wenig zu jener seiner Zeitgenossen verschieden ist:

Neuerdings wurde wiederholt ein älterer Versuch von P. Gerber³³¹⁾ diskutiert, die Perihelbewegung des Merkur durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation zu erkären, der jedoch als theoretisch völlig mißglückt bezeichnet werden muß. Er führte nämlich – aber auf Grund von falschen Schlüssen – zwar zur richtigen Formel (428), jedoch ist zu betonen, daß auch damals an dieser nur der Zahlenfaktor neu war.

Albert Einstein war in seiner einzigen öffentlichen Zurückweisung der Gerberschen Ausarbeitungen 1920 mit dem Stand der Kollegen definitiv gleichlautend.

Grüsse galileo2609

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#1519 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 24. März 2016, 23:02

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 03:23:

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

Übrigens beträgt der Beitrag der Massenveränderlichkeit zur Periheldrehung in erster Ordnung von alpha ein Drittel von jenen 43 Sekunden pro Jh, also 14.33´´. Von Gleich hatte 14.4´´ ausgerechnet (Ann. d. Phys. 78 (1925) 498).

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#1520 | Martin Raible | 24. März 2016, 23:27

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 15:30:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 03:23:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:

Da halte ich mich lieber ans Original, bzw. an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht. In Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, ging er offenbar von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, wobei er das Gravitationspotential geschwindigkeitsabhängig modifizierte:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$

Ich weiß leider nicht, welche Gleichung aus Einsteins Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der Allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1915, 831-839, das sein soll. Bitte geben Sie die Gleichungsnummer an.

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

Die Modifikation des Potentials hat Einstein in (7c) vorgenommen. Sie müssen nur einsetzen B = M/(m c) und die Erhaltung des Drehimpulses fordern: $m \,r \,v_\phi = M$ . Letztere folgt natürlich aus der Newtonschen Bewegungsgleichung, wenn die Kraft auf die Masse proportional zum Gradienten des kugelsymmetrischen Potentials ist.

Einstein leitet aus (7) die Newtonsche Bewegungsgleichung in integrierter Form ab (8), wobei er anschließend noch einen Korrekturterm für das Potential aus (7) herleitet, um (7c) zu erhalten. Dieser Term ist von der Ordnung $v_\phi^2/c^2$ und damit von der gleichen Größenordnung wie die Terme $v^2/c^2$ in der Massenformel, die er mit dem Argument vernachlässigt: „Wenn nämlich die Bewegung des Punktes mit gegen die Lichtgeschwindigkeit kleiner Geschwindigkeit stattfindet…“ Unter diesen Umständen gilt tatsächlich (8) und (8a), doch in 2.Ordnung lässt sich offenbar aus (7) die korrekte Massenformel nicht mehr gewinnen, weil wegen $v^2/c^2=0$ die Masse aus der Bewegungsgleichung, welche (7) zugrunde liegt, herausgefallen ist. Pauli wusste immerhin, dass es sich hier um eine Näherung handelt, wie er mehrfach (S. 707, S. 712) betont.

Guter Versuch, doch (7c) ist auch nicht die Bewegungsgleichung, die Sie hingeschrieben haben. Gl. (7c) lautet nach der Korrektur eines Druckfehlers: $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$ mit $\phi=-\frac{\alpha}{2r}\left(1+\frac{B^2}{r^2}\right)$ . Der Unterschied zu Ihrer Bewegungsgleichung $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$ besteht darin, dass $x_{\nu}$ auf der linken Seite der ersten Gleichung von (7c) zweimal nach s und nicht nach t abgeleitet wird. Einstein hat nämlich den linken Teil von Gleichung (7) nicht genähert, sondern unverändert gelassen.

Setzt man c=1 und nimmt man außerdem an, dass $v^2$ eine Größe von erster Ordnung, also von der gleichen Größenordnung wie $\alpha/r$ ist, so ist mit Gleichung (4b) $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Die erste der Gleichungen (7c) nimmt damit die Form an:
$\frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Sie sehen, dass die Terme der relativistischen Massenformel gar nicht vernachlässigt werden.

Einstein leitet (7c) aus der Geodätengleichung (7) her, wobei er eine Näherung macht, in der er nur Größen bis zu zweiter Ordnung berücksichtigt. Leider habe ich in Kommentar Nr. 1508 vom 23. März 2016, 22:13 Einsteins Herleitung korrigieren müssen. Doch es kommt Gl. (7c) heraus. Sie können ja mal versuchen, einen Fehler in der (um meine
Korrektur ergänzten) Herleitung von (7c) zu finden.

Es ist auch nicht richtig, dass (8) die Newtonsche Bewegungsgleichung in integrierter Form ist. Denn die Größe $u^2$ , die in der ersten der Gleichungen (8) auftritt, ist durch $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{ds^2}$ und nicht $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{dt^2}$ definiert, und die zweite der Gleichungen (8) hat die Form $r^2\frac{d\phi}{ds}=B$ und nicht $r^2\frac{d\phi}{dt}=B$ .

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#1521 | Martin Raible | 24. März 2016, 23:31

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 16:23:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dass diese Gleichung aus der Geodätengleichung folgt, haben Sie auch nicht gezeigt. Aus der Geodätengleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ folgt, dass $u^i$ beliebig groß werden kann. Daraus folgt aber keine Überlichtgeschwindigkeit, denn $u^i=dx^i/ds$ ist ja die Vierergeschwindigkeit und nicht die „normale“ Geschwindigkeit.

Und welche „normale“ Geschwindigkeit folgt denn nun aus Ihrer Geodätengleichung bei verschwindendem Drehimpuls (B = 0), wenn nicht $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ ?

Woher wollen Sie eigentlich wissen, welche Energie ein Teilchen hat, das sich auf einer geodätischen Linie bewegt? Sicher ist sie nicht konstant, wie das Beispiel der geraden Geodäte zeigt.

Bitte nicht ablenken. Zeigen Sie bitte, dass Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ aus der Geodätengleichung folgt.

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#1522 | Herr Senf | 24. März 2016, 23:33

Dr. Engelhardt

… in erster Ordnung von alpha ein Drittel von jenen 43 Sekunden pro Jh,

1. welches alpha meinen Sie, etwa das alpha = G * Msonne aus #1514 ?
2. was ist eine gerade Geodäte in #1516 ?
3. mit welcher Geschwindigkeit breitet sich ein statisches Gravifeld aus ?

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#1523 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 24. März 2016, 23:42

galileo2609 schrieb am 24. März 2016, 22:43:

Engelhardt

Wolfgang Engelhardt schrieb am 23. März 2016, 22:25:
Da halte ich mich lieber […] an Paulis Enzyklopädie-Artikel, der sich direkt auf Einstein bezieht.

nachdem Wolfgang Pauli in seinem nach wie vor geschätzten Artikel in der „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften“ (1921) Einsteins Formel zur Periheldrehung des Mekur aus dessen Arbeit [Ein15] problemlos rekonstruiert, findet Pauli auch zu einer Einschätzung der Ausarbeitungen Gerbers (p. 732), die wenig zu dener seiner Zeitgenossen verschieden ist:

Neuerdings wurde wiederholt ein älterer Versuch von P. Gerber³³¹⁾ diskutiert, die Perihelbewegung des Merkur durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation zu erkären, der jedoch als theoretisch völlig mißglückt bezeichnet werden muß. Er führte nämlich – aber auf Grund von falschen Schlüssen – zwar zur richtigen Formel (428), jedoch ist zu betonen, daß auch damals an dieser nur der Zahlenfaktor neu war.

Albert Einstein war in seiner einzigen öffentlichen Zurückweisung der Gerberschen Ausarbeitungen 1920 mit dem Stand der Kollegen definitiv gleichlautend.

Grüsse galileo2609

Natürlich kannte Pauli 1921 Einsteins Polemik von 1920 im Berliner Tageblatt und redet hier nahezu mit denselben Worten seinem Meister nach dem Mund:

Herrn Gerbers Arbeit ist daher völlig wertlos, ein mißglückter und irreparabler theoretischer Versuch.

Auch Pauli übersieht, dass die von ihm bemerkte und konstatierte Näherung in der Bewegungsgleichung einen Effekt von 14 Sekunden/Jahrhundert zur Folge hätte, würde sie denn berücksichtigt. Auch von ihm kein Wort, wieso Gerber „auf Grund von falschen Schlüssen“ „zur richtigen Formel (428)“ gelangen konnte.

Immerhin stellt er fest, dass der Zahlenfaktor von Gerber, welcher identisch mit jenem von Einstein ist, 1898 „neu“ war, Einstein also für dieses Ergebnis keine Priorität beanspruchen konnte, was er jedoch in unverschämter Weise tat. Pauli geht über diesen Umstand hinweg. Er hatte ja noch eine lange Karriere vor sich, die man besser nicht gleich zu Anfang gefährdet, insbesondere wenn man weiß, wie brutal der Meister sogar tote Kollegen fertig macht, die seinem Ehrgeiz im Wege stehen.

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#1524 | galileo2609 | 25. März 2016, 00:01

Engelhardt,

Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 23:42:
Natürlich kannte Pauli 1921 Einsteins Polemik von 1920 im Berliner Tageblatt und redet hier nahezu mit denselben Worten seinem Meister nach dem Mund: […] Er hatte ja noch eine lange Karriere vor sich, die man besser nicht gleich zu Anfang gefährdet, insbesondere wenn man weiß, wie brutal der Meister sogar tote Kollegen fertig macht, die seinem Ehrgeiz im Wege stehen.

interessant, wie sie auch den als völlig unangepasst gefürchteten Pauli als Handlanger Einsteins herabwürdigen. Alles Idioten ausser dem Wutbürger Engelhardt … Also nichts Neues von der dunklen Seite des Mondes.

Grüsse galileo2609

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#1525 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 00:02

Herr Senf schrieb am 24. März 2016, 23:33:

Dr. Engelhardt

… in erster Ordnung von alpha ein Drittel von jenen 43 Sekunden pro Jh,

1. welches alpha meinen Sie, etwa das alpha = G * Msonne aus #1514 ?
2. was ist eine gerade Geodäte in #1516 ?
3. mit welcher Geschwindigkeit breitet sich ein statisches Gravifeld aus ?

1) Natürlich meine ich Einsteins alphaE = 2 alpha/c^2
2) Ein Teilchen, welches keinen Drehimpuls bezogen auf das Gravitationszentrum hat, also M=B=v_\phi = 0, stürzt geradlinig mit zunehmender Geschwindigkeit auf das Zentrum zu. Wenn sich Massen auf „Geodäten“ bewegen, wie die ART behauptet, dann ist die Bahn des abstürzenden Teilchen auch eine geodätische, allerdings ohne Krümmung.
3) Ein statisches – besser quasistatisches – Gravitationsfeld ist genau wie das Coulombfeld instantan. Wäre dies nicht der Fall, so hätte dies eine Verletzung des Energiesatzes zur Folge. Siehe z.B.: https://www.researchgate.net/publication/274719808_Relativity_of_time_and_instantaneous_interaction_of_charged_particles .

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#1526 | Herr Senf | 25. März 2016, 01:38

Dr, Engelhardt, noch drei Fragen …

4. wer hat das Uhrheberrecht auf die Glückszahl „7“, Gerber oder Einstein ?
5. ist der Raum krumm oder die Zeit oder beide ? Drin oder draußen ?
6. was ist der Unterschied zwischen Linienelement und Koordinatenzeit ?

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#1527 | Uatu | 25. März 2016, 09:58

Auch von [Pauli] kein Wort, wieso Gerber „auf Grund von falschen Schlüssen“ „zur richtigen Formel (428)“ gelangen konnte.

Pauli dürfte auf eine nähere Erläuterung verzichtet haben, weil diejenigen, die sich seinerzeit für das Thema interessiert haben, nahezu sicher auch u.a. die auf Gehrke’s Neuabdruck von Gerber’s Arbeit folgende Kritik des Astronomen Hugo v. Seeliger in den Annalen der Physik 1917, Bd. 53/385, S. 31-32 kannten.

Der zentrale Kritikpunkt v. Seeliger’s ist Gerber’s fehlerhafte Anwendung des Lagrange-Formalismus. Man kann den Lagrange-Formalismus nicht, wie Gerber es tut, „einfach so“ mit einem geschwindigkeitsabhängigen Potential anwenden. Dafür ist ein generalisiertes Potential notwendig, das man — falls es überhaupt möglich ist — entweder aus dem Ausdruck für die Kraft (falls dieser vorliegt), oder in bestimmten Fällen aus dem Ausdruck für die potentielle Energie ermitteln kann.

Gerber leitet zunächst (S. 437) folgendes Potential her (dr/dt hier vereinfacht als v dargestellt, µ entspricht dem Produkt aus der Gravitationskonstanten und der anziehenden Masse m‘):

$V=\frac{\mu}{r}*\frac{1}{(1-v/c)^2}$

Per Taylor-Entwicklung macht er daraus:

$V=\frac{\mu}{r}*(1+2\frac{v}{c}+3\frac{v^2}{c^2})$

Dazu schreibt Gerber:

[D]iese Formel [gibt] die Arbeit an, die zu leisten wäre, wenn die Einheit der Masse m mit der relativen Geschwindigkeit dr/dt in unendliche Entfernung gebracht werden sollte.

Sowohl die Herleitung als auch diese Aussage zeigen eindeutig, dass Gerber’s Potential multipliziert mit m dem Betrag der potentiellen Energie zwischen m und m‘ entsprechen soll.

Mit diesem Ausdruck in unveränderter Form wendet Gerber im folgenden den Lagrange-Formalismus an, um die Beschleunigung zu ermitteln (üblich wäre eigentlich die Ergänzung von µ um m und darauf basierend die Ermittlung der Kraft, was aber in diesem Fall m.E. unwesentlich ist):

$a=\frac{\partial V}{\partial r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial v}=-\frac{\mu}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2}+6r\frac{a}{c^2})$

Das funktioniert so nicht. Da das Potential vor der Anwendung des Lagrange-Formalismus nicht in ein generalisiertes Potential umgewandelt wurde, entspricht dieser Ausdruck für die Beschleunigung bzw. Kraft nicht dem Ausgangspotential, wodurch u.a. die Summe zwischen potentieller und kinetischer Energie nicht konstant wäre. Die Rückbezüglichkeit der Beschleunigung ist für diese Art von Potential übrigens normal, und tritt z.B. bei Weber’s elektrodynamischem Potential ebenfalls auf.

Sofern der geschwindigkeitsabhängige Teil des Ausdrucks für das Potential wie bei der Taylor-entwickelten Variante von Gerber’s Potential (und z.B. auch Weber’s elektrodynamischem Potential) in Form einer Potenzreihe vorliegt, lässt sich aus dem Zusammenhang zwischen Gesamtenergie und Lagrange-Funktion zeigen, dass für die Koeffizienten der Potenzreihe gilt ( $k_{n}$ : Koeffizienten des Ausdrucks für das gewöhnliche Potential, $\tilde{k}_{n}$ : Koeffizienten des Ausdrucks für das generalisierte Potential für die Verwendung im Lagrange-Formalismus, n: Exponent von v):

$\tilde{k}_{n}=k_{n}/(1-n)$

$k_{n}=\tilde{k}_{n}*(1-n)$

Daraus folgt für die bei Gerber relevanten Exponenten n=0,1 und 2: konstante Glieder bleiben unverändert, lineare Glieder verschwinden in Richtung vom generalisierten auf das gewöhnliche Potential, quadratische Glieder ändern in beiden Richtungen ihr Vorzeichen.

Ein Problem besteht allerdings bei der Umwandlung von linearen Gliedern in Richtung vom gewöhnlichen auf das generalisierte Potential. Das würde zu einer Division durch Null führen. D.h. es ist gar nicht möglich, auf diese Weise ein generalisiertes Potential aus Gerber’s Potential zu ermitteln. Ich habe mir diesen Fall noch nicht näher angesehen, aber ich vermute, dass ein lineares Glied dieser Art im gewöhnlichen Potential auch physikalisch nicht sinnvoll wäre.

Es würde auch gar nichts bringen, den richtigen Ausdruck für die Kraft aus Gerber’s Potential zu bestimmen. Es ist nämlich gerade diese „falsche“ Kraft, die auf den korrekten Wert für die Periheldrehung führt. Das bedeutet aber umgekehrt, dass Gerber’s Potential und dessen Herleitung falsch sind. Aus dem von Gerber hergeleiteten Potential folgt also nicht die Kraft, mit der er weitergerechnet hat. Mit dem o.g. Zusammenhang zwischen den Koeffizienten kann man auch leicht das „richtige“ Potential bestimmen, aus dem Gerber’s Ausdruck für die Kraft folgt:

$V^{*}=\frac{\mu}{r}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$

Dieses Potential hätte Gerber herleiten müssen. Damit funktioniert (nach Umwandlung in ein generalisiertes Potential) sowohl die korrekte Ermittlung der Beschleunigung über den Lagrange-Formalismus, als auch alternativ — so ähnlich leitet Weber die Kraft aus seinem elektrodynamischen Potential ab — über die totale Ableitung nach r:

$a=\frac{\partial V^{*}}{\partial r}+\frac{\partial V^{*}}{\partial v}*\frac{dv}{dr}=-\frac{\mu}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2})-\frac{\mu}{r}*6\frac{v}{c^2}*\frac{dv}{dr}=-\frac{\mu}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2}+6r\frac{a}{c^2})$

Im Gegensatz zu Gerber’s eigenem Potential ergibt sich also in diesem Fall der Ausdruck für die Beschleunigung bzw. Kraft, mit dem Gerber weitergerechnet hat. Das Potential $V^{*}$ ähnelt stark Weber’s elektrodynamischem Potential. Der einzige Unterschied (natürlich neben der Proportionalität zu Massen statt Ladungen) besteht im Koeffizienten des v²-Teilterms. Statt 3 bei Gerber steht dort bei Weber 1/2 (bzw. 1 mit „Weber’s c“).

Es gab lange vor Gerber’s Arbeiten Versuche, Weber’s elektrodynamisches Potential auf den Gravitationsbereich zu übertragen. Diese führten allerdings (sofern Weber’s Potential direkt übernommen wurde) nur auf eine Merkur-Periheldrehung von ca. 7 Bogensekunden, d.h. auf einen ca. um den Faktor 6 zu kleinen Wert, was direkt auf den o.g. Koeffizienten im Potential zurückzuführen ist. Die älteste mir bekannte entsprechende Aussage stammt von 1872:

Einer mündlichen Mittheilung meines Collegen SCHEIBNER, der sich mit einer Untersuchung über die Substitution des WEBER’schen Gesetzes an Stelle des NEWTON’schen bezüglich der Bewegungen der Himmelskörper beschäftigt hat, verdanke ich die folgenden numerischen Angaben über die Unterschiede, welche sich zwischen beiden Gesetzen herausstellen würden.

Unter Beibehaltung des numerischen Werthes der WEBER’schen Constante c, könnte ein Unterschied höchstens in der Bewegung der Mercur beobachtet werden, indem hier eine saeculare Aenderung des Perihels von 6.73 Bogensecunden hervorgebracht würde. Bei der Venus betrüge dieser Einfluss nur noch 1“43.

(Johann Carl Friedrich Zöllner, „Über die Natur der Cometen“, 1872, S. 334)

In den weit über 20 Jahren zwischen dieser Aussage und Gerber’s Arbeit von 1898 wurden ähnliche Berechnungen auch von einer Reihe von anderen (u.a. auch in Frankreich) angestellt. Im Prinzip waren bereits diese Arbeiten nur um den Faktor 6 (von 1/2 auf 3) für den Koeffizienten des v²-Teilterms im Potential, und einer plausiblen Begründung dafür, vom korrekten Wert für die Merkur-Periheldrehung entfernt. Gerber hat zwar (indirekt) den passenden Koeffizienten geliefert, allerdings keine korrekte Herleitung dafür.

Mit der ART hat das alles nichts zu tun.

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#1528 | Martin Raible | 25. März 2016, 14:50

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 23:02:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 03:23:

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

Übrigens beträgt der Beitrag der Massenveränderlichkeit zur Periheldrehung in erster Ordnung von alpha ein Drittel von jenen 43 Sekunden pro Jh, also 14.33´´. Von Gleich hatte 14.4´´ ausgerechnet (Ann. d. Phys. 78 (1925) 498).

Es ist nicht notwendig, die Geodätengleichung um einen Beitrag der relativistischen Massenveränderlichkeit zu ergänzen. Ich habe in Kommentar Nr. 1502 vom 21. März 2016, 18:54 vorgerechnet, dass zum Einen die Geodätengleichung (für die bis auf Gravitation kräftefreie Bewegung) und zum Anderen die SRT-Gleichung für die Bewegung im elektromagnetischen Feld (mit relativistischer Massenveränderlichkeit $M=m/\sqrt{1-v^2/c^2}$ bzw. relativistischem Impuls $p^i=mv^i/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ) zwei Grenzfälle ein und derselben Gleichung für die Bewegung im Gravitationsfeld und elektromagnetischen Feld sind. Zwischen Geodätengleichung und relativistischer Massenveränderlichkeit besteht somit kein Widerspruch.

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#1529 | Martin Raible | 25. März 2016, 14:54

Martin Raible schrieb am 25. März 2016, 14:50:

Es ist nicht notwendig, die Geodätengleichung um einen Beitrag der relativistischen Massenveränderlichkeit zu ergänzen.

Außerdem würde eine solche Ergänzung dazu führen, dass die Bewegungsgleichung nicht mehr invariant unter Koordinatentransformationen ist.

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#1530 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 17:00

Herr Senf schrieb am 25. März 2016, 01:38:

Dr, Engelhardt, noch drei Fragen …

4. wer hat das Uhrheberrecht auf die Glückszahl „7“, Gerber oder Einstein ?
5. ist der Raum krumm oder die Zeit oder beide ? Drin oder draußen ?
6. was ist der Unterschied zwischen Linienelement und Koordinatenzeit ?

4. Weder noch. Vielleicht finden Sie hier Erhellendes: http://www.rp-online.de/panorama/wissen/warum-ist-die-7-eine-glueckszahl-aid-1.2311080
Gerber hat eindeutig das Urheberrecht auf seine neue Formel für die Periheldrehung, die er 1898 veröffentlicht hat, während Einstein dieselbe Formel nach einer fehlerhaften Rechnung erst 1915 veröffentlicht hat, ohne Gerber zu zitieren. So etwas nennt man Plagiat. Eine andere Frage ist es, ob diese Formel überhaupt korrekt ist, weil sie die geschwindigkeitsabhängige Masse ignoriert.
5. Was verstehen Sie unter „krumm“? Was ist bei Ihnen „drin“, was ist „draußen“? Die Lanke am Rande des Grunewaldes ist jedenfalls Krumm.
6. Das Linienelement kann man messen, die Koordinatenzeit nicht, denn sie wird „in der Regel“ von keiner realen Uhr angezeigt (http://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/koordinatenzeit/8770). Worin die „Regel“ besteht, habe ich noch nicht herausgefunden.

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#1531 | nocheinPoet | 25. März 2016, 17:54

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 17:00:

Gerber hat eindeutig das Urheberrecht auf seine neue Formel für die Periheldrehung, die er 1898 veröffentlicht hat, …

Falsch, eindeutig ist nur, sie faseln ohne Ahnung Stuss und verwechseln wieder ihre Meinung mit Tatsachen. Für Formel gibt es kein Urheberrecht:

Dagegen genießen Ideen, Entdeckungen oder wissenschaftliche Erkenntnisse keinen Urheberrechtsschutz. Sie haben keine schöpferische Eigentümlichkeit.

http://kanzlei-lachenmann.de/zitatrecht-zitatpflicht-plagiat-und-urheberrechtlicher-schutz/

… während Einstein dieselbe Formel nach einer fehlerhaften Rechnung erst 1915 veröffentlicht hat, ohne Gerber zu zitieren. So etwas nennt man Plagiat.

Auch wieder fasch, weiter faseln sie Stuss ohne jede Ahnung:

Wann besteht eigentlich Urheberrechtschutz? Was ist ein Plagiat?

Von Plagiat spricht man immer dann, wenn sich jemand eines „geistigen Diebstahls“ schuldig macht, d. h. es ist die „unbefugte Übernahme eines fremden Werks in Kenntnis des bestehenden Urheberrechts, um es als eigenes zu verwenden“ (BGH, Urt. v. 12.1.1960 – I ZR 30/58).

Fehlt es also an schöpferischer Individualität (z. B. eine mathematische Formel, ein Allerweltstext), besteht kein Urheberrecht.

http://kanzlei-lachenmann.de/zitatrecht-zitatpflicht-plagiat-und-urheberrechtlicher-schutz/

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#1532 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 19:19

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 23:27:

Guter Versuch, doch (7c) ist auch nicht die Bewegungsgleichung, die Sie hingeschrieben haben. Gl. (7c) lautet nach der Korrektur eines Druckfehlers: $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$ mit $\phi=-\frac{\alpha}{2r}\left(1+\frac{B^2}{r^2}\right)$ . Der Unterschied zu Ihrer Bewegungsgleichung $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$ besteht darin, dass $x_{\nu}$ auf der linken Seite der ersten Gleichung von (7c) zweimal nach s und nicht nach t abgeleitet wird. Einstein hat nämlich den linken Teil von Gleichung (7) nicht genähert, sondern unverändert gelassen.

Setzt man c=1 und nimmt man außerdem an, dass $v^2$ eine Größe von erster Ordnung, also von der gleichen Größenordnung wie $\alpha/r$ ist, so ist mit Gleichung (4b) $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Die erste der Gleichungen (7c) nimmt damit die Form an:
$\frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Sie sehen, dass die Terme der relativistischen Massenformel gar nicht vernachlässigt werden.

Einstein leitet (7c) aus der Geodätengleichung (7) her, wobei er eine Näherung macht, in der er nur Größen bis zu zweiter Ordnung berücksichtigt. Leider habe ich in Kommentar Nr. 1508 vom 23. März 2016, 22:13 Einsteins Herleitung korrigieren müssen. Doch es kommt Gl. (7c) heraus. Sie können ja mal versuchen, einen Fehler in der (um meine
Korrektur ergänzten) Herleitung von (7c) zu finden.

Es ist auch nicht richtig, dass (8) die Newtonsche Bewegungsgleichung in integrierter Form ist. Denn die Größe $u^2$ , die in der ersten der Gleichungen (8) auftritt, ist durch $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{ds^2}$ und nicht $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{dt^2}$ definiert, und die zweite der Gleichungen (8) hat die Form $r^2\frac{d\phi}{ds}=B$ und nicht $r^2\frac{d\phi}{dt}=B$ .

Gegen diese Gleichung
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$
gibt es Einwände:
1) Die gravitative Kraft $-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$
wirkt auf die geschwindigkeitsabhängige Masse. Deshalb muss der Wurzelfaktor auf der rechten Seite im Nenner statt im Zähler stehen, so dass Sie erhalten:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}$
2) Es ist mir unklar, weshalb im Wurzelfaktor das Potential auftaucht. Üblicherweise wird angesetzt $\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2}}$

Ich sehe nicht, wie Sie aus Ihrer Formel Einsteins bzw. Gerbers Resultat für die Periheldrehung herausrechnen können. Die Integration über die Zeit von $\displaystyle \vec v \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\vec v \cdot\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$
dürfte erhebliche Schwierigkeiten bereiten.

Zur Gleichung (8): Selbstverständlich ist sie eine integrierte Form der Bewegungsgleichung, denn sie enthält die beiden Integrationskonstanten A und B.

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#1533 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 19:31

Martin Raible schrieb am 25. März 2016, 14:54:

Martin Raible schrieb am 25. März 2016, 14:50:

Es ist nicht notwendig, die Geodätengleichung um einen Beitrag der relativistischen Massenveränderlichkeit zu ergänzen.

Außerdem würde eine solche Ergänzung dazu führen, dass die Bewegungsgleichung nicht mehr invariant unter Koordinatentransformationen ist.

Sie haben doch im Kommentar # 1536 gerade diese Ergänzung vorgenommen. Allerdings haben Sie nicht gezeigt, wie Sie mit Ihrer Formel auf Gerbers Ergebnis kommen.

Und wie Sie aus der Geodätengleichung die Energie des Teilchens errechnen, welches dort entlangläuft, haben Sie auch noch nicht mitgeteilt.

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#1534 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 22:47

Uatu schrieb am 25. März 2016, 09:58:

… Mit der ART hat das alles nichts zu tun.

Ihre Ausführungen sind sehr interessant, klären aber nicht, warum Einstein mit falschen Rechnungen ebenfalls auf die Gerberformel kommen konnte. Nachdem er Gerbers Papier sehr wahrscheinlich gekannt hatte, wie Gehrckes Recherche nahelegt, ist es so gut wie sicher, dass ihm Gerbers Formel als Vorlage gedient hat. Dafür sprechen auch seine bodenlosen Angriffe im Berliner Tageblatt gegen den toten Gerber, der ja Einsteins „richtige“ Formel hergeleitet hatte, während Einsteins eigene Herleitung falsch war.

Im Gegensatz zu Ihnen weist Kevin Brown nach, dass man aus Gerbers Potential sehr wohl Gerbers Formel gewinnen kann. Ich empfehle Ihnen, seinen Artikel Gerber’s gravity http://www.mathpages.com/home/kmath527/kmath527.htm zu studieren, wenn Sie außerhalb der ART an diesen Fragen Interesse haben. Solkar hat vor einigen Monaten auf diesen Artikel hingewiesen.

Im Übrigen stimme ich aber nicht mit Ihnen überein, dass man aus dem Potential
$\displaystyle V^{*}=\frac{\mu}{r}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$
Gerbers Formel hätte gewinnen können. Gerber hat genauso wie Einstein mit m = m₀ gearbeitet. Im Kommentar # 1525 habe ich gezeigt, dass Einstein mit dem Potential
$\displaystyle \Phi_E=\frac{\mu}{r}*(1+\frac{v_\phi^2}{c^2})$
seine Differentialgleichung (11) gewinnen konnte, was nach Ihrem Vorschlag wohl nicht möglich wäre.

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#1535 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 22:57

galileo2609 schrieb am 25. März 2016, 00:01:

Engelhardt,

Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 23:42:
Natürlich kannte Pauli 1921 Einsteins Polemik von 1920 im Berliner Tageblatt und redet hier nahezu mit denselben Worten seinem Meister nach dem Mund: […] Er hatte ja noch eine lange Karriere vor sich, die man besser nicht gleich zu Anfang gefährdet, insbesondere wenn man weiß, wie brutal der Meister sogar tote Kollegen fertig macht, die seinem Ehrgeiz im Wege stehen.

interessant, wie sie auch den als völlig unangepasst gefürchteten Pauli als Handlanger Einsteins herabwürdigen. Alles Idioten ausser dem Wutbürger Engelhardt … Also nichts Neues von der dunklen Seite des Mondes.

Grüsse galileo2609

Wenn ich so Ihre Polemik gegen mich betrachte, dann ist wohl die Wut eher auf Ihrer Seite. Ich kann mit Gelassenheit und Amüsement verfolgen, wie Sie sich hier selbst zerlegen. Gut, dass Sie das im Schutz der Anonymität tun, so dass man Sie nicht ernst nehmen muss.

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#1536 | galileo2609 | 25. März 2016, 22:57

Engelhardt;

Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 17:00:
Gerber hat eindeutig das Urheberrecht auf seine neue Formel für die Periheldrehung, die er 1898 veröffentlicht hat, während Einstein dieselbe Formel nach einer fehlerhaften Rechnung erst 1915 veröffentlicht hat, ohne Gerber zu zitieren. So etwas nennt man Plagiat.

nun ist ja nach dem von ihnen jüngst herabgewürdigten Wolfgang Pauli Gerbers Formel nicht wirklich neu gewesen.
Heute vormittag wurde ihnen noch einmal von unabhängiger Seite glasklar dargestellt, dass Gerbers Ausarbeitung in sich inkonsistent ist. Und wer mit Paulis scharfer Zunge vetraut ist, weiss auch, wie dessen Satz

Neuerdings wurde wiederholt ein älterer Versuch von P. Gerber […] der jedoch als theoretisch völlig mißglückt bezeichnet werden muß.

zu werten ist: absolut vernichtend!

Weiter wissen sie natürlich, dass Gerbers Ausarbeitung von 1898 bereits weit vor Ernst Gehrckes erstem Plagiatsvorwurf von 1916 eindeutig in der Kritik durchgefallen war. Warum also sollte Einstein, dessen Formel für die Periheldrehung des Merkur zweifellos aus der ART an sich und ebenfalls aus seinem Vortrag vom 18.11.1915 ableitbar ist, die Formel eines durchgefallenen Oberlehrers plagiieren? Ihr rein ideologisch motiviertes Konstrukt, das sie in ihrem Wutschnauben zu grossen Teilen übrigens selbst ohne Zitierung von ihren Vorgängern beziehen, ist damit völlig haltlos. Es fehlt nicht nur das Motiv, da schon die Notwendigkeit eines wissenschaftlichen Betrugs nicht vorhanden ist.

Grüsse galileo2609

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#1537 | Martin Raible | 25. März 2016, 23:16

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 19:19:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 23:27:

Guter Versuch, doch (7c) ist auch nicht die Bewegungsgleichung, die Sie hingeschrieben haben. Gl. (7c) lautet nach der Korrektur eines Druckfehlers: $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$ mit $\phi=-\frac{\alpha}{2r}\left(1+\frac{B^2}{r^2}\right)$ . Der Unterschied zu Ihrer Bewegungsgleichung $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( {m\,\vec {v}} \right)=\alpha \,m\,\nabla \left[ {\frac{1}{r}\left( {1+\frac{v_\phi ^2 }{c^2}} \right)} \right]\;,\quad \alpha =G\,M_{Sonne}$ besteht darin, dass $x_{\nu}$ auf der linken Seite der ersten Gleichung von (7c) zweimal nach s und nicht nach t abgeleitet wird. Einstein hat nämlich den linken Teil von Gleichung (7) nicht genähert, sondern unverändert gelassen.

Setzt man c=1 und nimmt man außerdem an, dass $v^2$ eine Größe von erster Ordnung, also von der gleichen Größenordnung wie $\alpha/r$ ist, so ist mit Gleichung (4b) $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Die erste der Gleichungen (7c) nimmt damit die Form an:
$\frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ . Sie sehen, dass die Terme der relativistischen Massenformel gar nicht vernachlässigt werden.

Einstein leitet (7c) aus der Geodätengleichung (7) her, wobei er eine Näherung macht, in der er nur Größen bis zu zweiter Ordnung berücksichtigt. Leider habe ich in Kommentar Nr. 1508 vom 23. März 2016, 22:13 Einsteins Herleitung korrigieren müssen. Doch es kommt Gl. (7c) heraus. Sie können ja mal versuchen, einen Fehler in der (um meine
Korrektur ergänzten) Herleitung von (7c) zu finden.

Es ist auch nicht richtig, dass (8) die Newtonsche Bewegungsgleichung in integrierter Form ist. Denn die Größe $u^2$ , die in der ersten der Gleichungen (8) auftritt, ist durch $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{ds^2}$ und nicht $u^2=\frac{dr^2+r^2d\phi^2}{dt^2}$ definiert, und die zweite der Gleichungen (8) hat die Form $r^2\frac{d\phi}{ds}=B$ und nicht $r^2\frac{d\phi}{dt}=B$ .

Gegen diese Gleichung
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$
gibt es Einwände:

Das ist die Gleichung, die man erhält, wenn man in der ersten Gleichung von (7c) $ds$ durch $dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ ersetzt. $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ folgt aus Gleichung (4b).

1) Die gravitative Kraft $-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}$
wirkt auf die geschwindigkeitsabhängige Masse. Deshalb muss der Wurzelfaktor auf der rechten Seite im Nenner statt im Zähler stehen, so dass Sie erhalten:
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}$

Diese Argumentation hat mit der ART nichts mehr zu tun. In der ART gilt die Geodätengleichung bzw. die daraus abgeleitete Näherung (7c), die ich nur umgeschrieben habe.

2) Es ist mir unklar, weshalb im Wurzelfaktor das Potential auftaucht. Üblicherweise wird angesetzt $\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2}}$

Da wir hier die ART benutzen und nicht die SRT, weicht der metrische Tensor von der Minkowski-Metrik ab, so dass wir nicht $ds=dt\sqrt{1-v^2}$ , sondern $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ haben.

Ich sehe nicht, wie Sie aus Ihrer Formel Einsteins bzw. Gerbers Resultat für die Periheldrehung herausrechnen können. Die Integration über die Zeit von $\displaystyle \vec v \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\vec v \cdot\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$
dürfte erhebliche Schwierigkeiten bereiten.

Wie man aus (7c) zu der Formel für die Periheldrehung kommt, steht in Einsteins Artikel.

Zur Gleichung (8): Selbstverständlich ist sie eine integrierte Form der Bewegungsgleichung, denn sie enthält die beiden Integrationskonstanten A und B.

Ich hatte ja auch etwas anderes bestritten, nämlich Ihre Behauptung, dass (8) eine intergrierte Form der Newtonschen Bewegungsgleichung ist.

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#1538 | Martin Raible | 25. März 2016, 23:28

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 19:31:

Martin Raible schrieb am 25. März 2016, 14:54:

Martin Raible schrieb am 25. März 2016, 14:50:

Es ist nicht notwendig, die Geodätengleichung um einen Beitrag der relativistischen Massenveränderlichkeit zu ergänzen.

Außerdem würde eine solche Ergänzung dazu führen, dass die Bewegungsgleichung nicht mehr invariant unter Koordinatentransformationen ist.

Sie haben doch im Kommentar # 1536 gerade diese Ergänzung vorgenommen.

Nein, das habe ich nicht. Ich habe in Gl. (7c) lediglich $ds=dt\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$ eingesetzt.

Allerdings haben Sie nicht gezeigt, wie Sie mit Ihrer Formel auf Gerbers Ergebnis kommen.

In Einsteins Artikel steht, wie man von Gl. (7c) auf die Formel für die Periheldrehung kommt.

Und wie Sie aus der Geodätengleichung die Energie des Teilchens errechnen, welches dort entlangläuft, haben Sie auch noch nicht mitgeteilt.

Ich will ja auch erst von Ihnen wissen, wie man von der Geodätengleichung auf Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ kommt.

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#1539 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 25. März 2016, 23:37

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 23:31:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 16:23:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dass diese Gleichung aus der Geodätengleichung folgt, haben Sie auch nicht gezeigt. Aus der Geodätengleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ folgt, dass $u^i$ beliebig groß werden kann. Daraus folgt aber keine Überlichtgeschwindigkeit, denn $u^i=dx^i/ds$ ist ja die Vierergeschwindigkeit und nicht die „normale“ Geschwindigkeit.

Und welche „normale“ Geschwindigkeit folgt denn nun aus Ihrer Geodätengleichung bei verschwindendem Drehimpuls (B = 0), wenn nicht $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ ?

Woher wollen Sie eigentlich wissen, welche Energie ein Teilchen hat, das sich auf einer geodätischen Linie bewegt? Sicher ist sie nicht konstant, wie das Beispiel der geraden Geodäte zeigt.

Bitte nicht ablenken. Zeigen Sie bitte, dass Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ aus der Geodätengleichung folgt.

Ich beziehe mich auf Einstein, der unter der Voraussetzung
$v^2/c^2 = 0$ aus der Geodätengleichung (7) die Näherung (7a) herleitet. Sie liefert für den von mir betrachteten Fall B = 0 die Newton’sche Bewegungsgleichung welche nach Integration über die Zeit den Ausdruck $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ auf der geraden Geodäten ergibt.

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#1540 | Martin Raible | 26. März 2016, 00:05

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 23:37:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 23:31:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 16:23:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 01:52:

Dass diese Gleichung aus der Geodätengleichung folgt, haben Sie auch nicht gezeigt. Aus der Geodätengleichung $\frac{du^i}{ds}+\Gamma^i_{kl}u^ku^l=0$ folgt, dass $u^i$ beliebig groß werden kann. Daraus folgt aber keine Überlichtgeschwindigkeit, denn $u^i=dx^i/ds$ ist ja die Vierergeschwindigkeit und nicht die „normale“ Geschwindigkeit.

Und welche „normale“ Geschwindigkeit folgt denn nun aus Ihrer Geodätengleichung bei verschwindendem Drehimpuls (B = 0), wenn nicht $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ ?

Woher wollen Sie eigentlich wissen, welche Energie ein Teilchen hat, das sich auf einer geodätischen Linie bewegt? Sicher ist sie nicht konstant, wie das Beispiel der geraden Geodäte zeigt.

Bitte nicht ablenken. Zeigen Sie bitte, dass Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ aus der Geodätengleichung folgt.

Ich beziehe mich auf Einstein, der unter der Voraussetzung
$v^2/c^2 = 0$ aus der Geodätengleichung (7) die Näherung (7a) herleitet. Sie liefert für den von mir betrachteten Fall B = 0 die Newton’sche Bewegungsgleichung welche nach Integration über die Zeit den Ausdruck $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ auf der geraden Geodäten ergibt.

Das ist nicht richtig. Die erste der Gleichungen (7a) lautet $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ und nicht $\frac{d^2x_{\nu}}{dt^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ . Aus Gl. (7a) würde daher im Fall B=0 $u^2(r)=u^2(\infty)+\frac{\alpha}{r}$ mit $u=dr/ds$ (statt $u=dr/dt$ ) folgen.

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#1541 | Uatu | 26. März 2016, 06:44

@Dr. Engelhardt:

Im Gegensatz zu Ihnen weist Kevin Brown nach, dass man aus Gerbers Potential sehr wohl Gerbers Formel gewinnen kann. […]

Im Übrigen stimme ich aber nicht mit Ihnen überein, dass man aus dem Potential
$\displaystyle V^{*}=\frac{\mu}{r}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$
Gerbers Formel hätte gewinnen können.

Ich denke, ich habe einen Weg gefunden, eindeutig nachzuweisen, dass Gerbers’s Potential nicht zu seiner Kraftformel passt, und dass das von mir angegebene Potential den auftretenden Widerspruch löst.

Es ist im folgenden günstiger, mit Ausdrücken für die potentielle Energie und die Kraft zu rechnen, weshalb ich Gerber’s Formeln jeweils mit m multipliziert habe. Dann ergibt sich:

$\displaystyle V=\frac{G*m*m'}{r}*(1+2\frac{v}{c}+3\frac{v^2}{c^2})$

$\displaystyle F=-\frac{G*m*m'}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2}+6r\frac{a}{c^2})$

Da im folgenden nur die Wechselwirkung von zwei Massen betrachtet werden soll, ist es unproblematisch möglich, die etwas irritierende Rekursivität der Beschleunigung zu eliminieren. Die Relativbeschleunigung, die im dritten Term in der Klammer eingeht, entspricht der Summe der Beschleunigungen, die die beiden Massen aufeinander ausüben: a = F/m + F/m‘.

$\displaystyle F=-\frac{G*m*m'}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2}+6r\frac{F/m+F/m'}{c^2})$

$\displaystyle F+\frac{G*m*m'}{r^2}*6r\frac{F/m+F/m'}{c^2}=-\frac{G*m*m'}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$

$\displaystyle F*(1+\frac{G*m*m'}{r^2}*6r\frac{1/m+1/m'}{c^2})=-\frac{G*m*m'}{r^2}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$

$\displaystyle F=-\frac{G*m*m'}{r^2}*\frac{(1-3\frac{v^2}{c^2})}{(1+6\frac{G*(m+m')}{r*c^2})}$

In dieser Form kann man aus dem Ausdruck für die Kraft folgende Schlussfolgerung ableiten: Zwei zunächst ruhende, weit voneinander entfernte Massen, die sich (in relevantem Rahmen) frei bewegen können, beschleunigen aufeinander zu, bis sie eine Relativgeschwindigkeit von $-\sqrt{1/3}*c$ erreicht haben (was bei einer rein klassischen Rechnung kein Problem darstellen sollte). Dadurch wird der Term $(1-3\frac{v^2}{c^2})$ im Ausdruck für die Kraft Null, und es findet keine weitere Beschleunigung mehr statt. Die Geschwindigkeit bleibt (bis zum Aufeinandertreffen) konstant.

Nun zur Gesamtenergie der beiden Massen in diesem Zustand (da Gerber das Potential positiv definiert hat, ist hier ein negatives Vorzeichen für die potentielle Energie erforderlich):

$\displaystyle E=T-V=\frac{1}{2}*\frac{m*m'}{m+m'}*\frac{1}{3}c^2-\frac{G*m*m'}{r}*(1-2\sqrt{1/3}+1)$

An dieser Stelle zeigt sich ein fundamentales Problem: Die Geschwindigkeit ist konstant, der Abstand ändert sich aber laufend. Deshalb ändert sich in obigem Ausdruck auch die Gesamtenergie, was einer Verletzung des Energieerhaltungsatzes entspricht. Deshalb passt Gerber’s Potential definitiv nicht zu seinem Ausdruck für die Kraft. Zum Vergleich die Gesamtenergie mit dem von mir in meinem vorhergehenden Beitrag angegebenen Potential:

$\displaystyle V^{*}=\frac{G*m*m'}{r}*(1-3\frac{v^2}{c^2})$

$\displaystyle E=T-V^{*}=\frac{1}{2}*\frac{m*m'}{m+m'}*\frac{1}{3}c^2-\frac{G*m*m'}{r}*(1-1)$

In diesem Fall ist der von r abhängige Term gleich Null, and die Energieerhaltung ist gewährleistet. Dieses Beispiel ist übrigens nicht speziell dafür konstruiert, dass es mit Gerber’s Potential nicht, und mit dem von mir angebenen Potential funktioniert. Die Energieerhaltung funktioniert bei Gerber’s Potential grundsätzlich nicht. Eine Simulation (ich habe einige Erfahrung mit derartigen Simulationen) würde zum gleichen Ergebnis führen.

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#1542 | Martin Raible | 26. März 2016, 17:48

Martin Raible schrieb am 26. März 2016, 00:05:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 23:37:

Ich beziehe mich auf Einstein, der unter der Voraussetzung
$v^2/c^2 = 0$ aus der Geodätengleichung (7) die Näherung (7a) herleitet. Sie liefert für den von mir betrachteten Fall B = 0 die Newton’sche Bewegungsgleichung welche nach Integration über die Zeit den Ausdruck $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ auf der geraden Geodäten ergibt.

Das ist nicht richtig. Die erste der Gleichungen (7a) lautet $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ und nicht $\frac{d^2x_{\nu}}{dt^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ . Aus Gl. (7a) würde daher im Fall B=0 $u^2(r)=u^2(\infty)+\frac{\alpha}{r}$ mit $u=dr/ds$ (statt $u=dr/dt$ ) folgen.

Das Problem ist überhaupt, dass Gl. (7a) nur eine Näherung ist, und zwar für den Fall, dass $v^2/c^2$ nur eine Größe erster Ordnung, also höchstens von der Größenordnung $\alpha/r$ ist. Sie haben Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ aber auf ein Teravolt-Teilchen angewendet, um zu behaupten, solch ein Teilchen würde beim Sturz in das Gravitationszentrum überlichtschnell werden. Für ein solches Teilchen ist diese Gleichung aber nicht anwendbar.

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#1543 | Martin Raible | 28. März 2016, 09:06

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 24. März 2016, 23:02:

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 03:23:

Außerdem ging Einstein nicht von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus, sondern von der Geodätengleichung (7).

Übrigens beträgt der Beitrag der Massenveränderlichkeit zur Periheldrehung in erster Ordnung von alpha ein Drittel von jenen 43 Sekunden pro Jh, also 14.33´´. Von Gleich hatte 14.4´´ ausgerechnet (Ann. d. Phys. 78 (1925) 498).

Es ist nicht notwendig, die Geodätengleichung um einen Beitrag der relativistischen Massenveränderlichkeit zu ergänzen. Ich habe in Kommentar Nr. 1502 vom 21. März 2016, 18:54 die ART-Gleichung für die Bewegung im Gravitationsfeld und elektromagnetischen Feld hingeschrieben.Diese Gleichung besitzt als Grenzfall
die SRT-Gleichung für die Bewegung im elektromagnetischen Feld (mit relativistischer Massenveränderlichkeit $M=m/\sqrt{1-v^2/c^2}$ bzw. relativistischem Impuls $p^i=mv^i/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ). Ein anderer Grenzfall dieser Gleichung (im Fall verschwindender elektromagnetischer Kraft) ist die Geodätengleichung für die bis auf Gravitation kräftefreie Bewegung.

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#1544 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 09:34

Martin Raible schrieb am 26. März 2016, 17:48:

Martin Raible schrieb am 26. März 2016, 00:05:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 25. März 2016, 23:37:

Ich beziehe mich auf Einstein, der unter der Voraussetzung
$v^2/c^2 = 0$ aus der Geodätengleichung (7) die Näherung (7a) herleitet. Sie liefert für den von mir betrachteten Fall B = 0 die Newton’sche Bewegungsgleichung welche nach Integration über die Zeit den Ausdruck $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ auf der geraden Geodäten ergibt.

Das ist nicht richtig. Die erste der Gleichungen (7a) lautet $\frac{d^2x_{\nu}}{ds^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ und nicht $\frac{d^2x_{\nu}}{dt^2}=-\frac{\alpha}{2}\frac{x_{\nu}}{r^3}$ . Aus Gl. (7a) würde daher im Fall B=0 $u^2(r)=u^2(\infty)+\frac{\alpha}{r}$ mit $u=dr/ds$ (statt $u=dr/dt$ ) folgen.

Das Problem ist überhaupt, dass Gl. (7a) nur eine Näherung ist, und zwar für den Fall, dass $v^2/c^2$ nur eine Größe erster Ordnung, also höchstens von der Größenordnung $\alpha/r$ ist. Sie haben Ihre Gleichung $v_r^2 \left( r \right)=v_r^2 \left( \infty \right)+\frac{M_0 G}{r}$ aber auf ein Teravolt-Teilchen angewendet, um zu behaupten, solch ein Teilchen würde beim Sturz in das Gravitationszentrum überlichtschnell werden. Für ein solches Teilchen ist diese Gleichung aber nicht anwendbar.

Nun kommen wir uns schon näher. Ich habe ja gerade behauptet, dass die Gleichung (7a) nicht die korrekte Bahngleichung eines Teilchens beschreiben kann, weil sie Größen der Ordnung $v^2/c^2$ nicht berücksichtigt. Dies hat auch Pauli mit dem Satz festgestellt:

Die Bewegungsgleichung (80) für den Massenpunkt läßt eine beträchtliche Vereinfachung zu, wenn die Geschwindigkeit des Massenpunkts
klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist, so daß Größen von der Ordnung v²/c² vernachlässigt werden können.

Er hat aber genauso wie Einstein und Schwarzschild übersehen, dass man bei der Berechnung der Periheldrehung diese Terme mitnehmen muss, weil sie einen Beitrag vergleichbarer Größenordnung liefern. Beim Merkur sind das 14.5′ / Jh.

Wenn Einsteins ART etwas taugen soll, darf sie natürlich nicht vor Höhenstrahlungsteilchen haltmachen. Es ist übrigens kein großes Problem, die Gleichung $\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\left(-\frac{\partial\Phi}{\partial x_{\nu}}\right)\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
zu integrieren. Man erhält mit $\Phi=-\alpha/(2\,r)$ und $v_\phi = 0$ :
$\displaystyle 1-v_r^2/c^2=\left(1-v_\infty^2/c^2\right) \exp\left({-\alpha/r}\right)$
Das Höhenstrahlungsteilchen, welches schon fast Lichtgeschwindigkeit besitzt und auf ein Gravitationszentrum zustürzt, wird nicht mehr auf Überlichtgeschwindigkeit beschleunigt, dank Berücksichtigung der geschwindigkeitsabhängigen Masse.

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#1545 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 09:42

galileo2609 schrieb am 25. März 2016, 22:57:
…

Einstein hätte Gerber zitieren müssen, weil dieser 17 Jahre vor Einstein seine Formel veröffentlicht hatte, die Einstein 1915 aus dem Integral $\displaystyle \left[{{1+\alpha \left( {\alpha _1 +\alpha _2 } \right)}}\right]\int\limits_{\alpha _1 }^{\alpha _2 } {\frac{\left( {1+{\alpha \,x} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha \,x} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} \right)dx}{\sqrt {-\left( {x-\alpha _1 } \right)\left( {x-\alpha _2 } \right)}}}=\pi\left[1+\frac{5}{4}\alpha \left(\alpha _1 +\alpha _2\right)\right]+O\left(\alpha ^2\right)\newline\ne\pi\left(1+\frac{3}{2}\alpha\frac{1}{a(1-e^2)}\right)$
gar nicht herleiten konnte. Wenn er trotzdem Gerbers Formel als Ergebnis hingeschrieben hat, muss er dieses Resultat bei Gerber abgeschrieben haben. Diesen Schluss hat er sebst mit seiner überzogenen Reaktion im Berliner Tageblatt befestigt.

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#1546 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 10:33

Uatu schrieb am 26. März 2016, 06:44:

—-

Wiederum sehr interessant, aber wie selber sagen: „außerhalb der ART“. Mag sein, dass Ihr Potential einen Widerspruch bei Gerber löst. Wie sich dann jedoch Gerbers Formel errechnet, erschließt sich mir noch nicht.

Auch sehe ich nicht, ob Sie nun sagen wollen, Kevin Brown hat sich geirrt, als er aus Gerbers Potential auf anderem Weg als Gerber selbst dessen Formel hergeleitet hat.

Aus Einsteins geschwindigkeitsabhängigem Potential folgt mit m = m_0 zwanglos seine Gleichung (11), die er allerdings falsch integriert hat. Dennoch hat er Gerbers Formel als Resultat hingeschrieben, was schon in der Schule für den Lehrer ein untrügliches Indiz für „Abschreiben beim Nachbarn“ war. Dieser Plagiatsvorwurf ist für Sie wahrscheinlich genauso unwichtig, wie jener der sich auf 1905 (Voigt) und 1911 (Soldner) bezieht.

Vielleicht erinnern Sie sich, dass der Ausgangspunkt dieser Diskussion meine „Befragung der Experten“ http://www.kritik-relativitaetstheorie.de/2015/12/wolfgang-engelhardt-befragung-von-experten-zur-gerber-einstein-formel/ war. Für mich ist nunmehr das „Rätsel“ gelöst, wenngleich die „Experten“ sich nicht dazu geäußert haben.

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#1547 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 15:19

Martin Raible schrieb am 24. März 2016, 23:27:

—

Ich komme auf Ihren Kommentar vom 24. März, bzw. auf Ihre Gleichung
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{dx_{\nu}/dt}{\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}}=\left(-\frac{\partial\phi}{\partial x_{\nu}}\right)\sqrt{1-\frac{\alpha}{r}-v^2}$
zurück. Dieser Ausdruck $\displaystyle \frac{\alpha}{r}+v^2$ ist offenbar eine Konstante, wie man aus Einsteins Bemerkung vor (7c) erkennen kann: $\displaystyle s\,\sqrt{1-2A}=s^*$ . Allerdings schreibt er anschließend für diese „Zeitvariable“ wieder s* = s. Ihre obige Gleichung wird damit: $\displaystyle \frac{d^2x_{\nu}}{dt^2}=-\frac{\partial\phi}{\partial x_\nu} \left(1-2A\right)$
Die geschwindigheitsabhängige Masse ist also wiederum herausgefallen.

Die Konstanz dieses Ausdrucks $\frac{\alpha}{r}+v^2$ folgt aus der Newtonschen Bewegungsgleichung mit m = m₀:
$\displaystyle \frac{d\vec v}{dt}=-\nabla \Phi$
Skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit und Integration über die Zeit liefert: $\displaystyle \vec v^2=-2 \Phi+const$ . Setzt man $\;\Phi=\frac{\alpha}{2\,r}\;$ und $\;const = 2A$ , so geht Ihr Ausdruck in jenen von Einstein über:
$v^2+\frac{\alpha}{r}=2A$
Er verschwindet, wenn man ihn nach der Zeit differenziert, weil A eine Konstante ist.

Im Gegensatz dazu verschwindet die geschwindigkeitsabhängige Masse bei Differentiation nach der Zeit nicht. Es zeigt sich wiederum, dass Einstein Terme der Größenordnung v²/c² vernachlässigt hat, was Kannenberg schon nach dem 2. Semester Mathematikstudium wusste. Allerdings hat er uns nach abgeschlossenem Mathematikstudium noch nicht mitgeteilt, warum Einstein die Terme $v_\phi^2/c^2$ mitgenommen hat, aber die Terme $v^2/c^2$ nicht.

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#1548 | Herr Senf | 28. März 2016, 17:53

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 28. März 2016, 15:19:
… Die geschwindigheitsabhängige Masse ist also wiederum herausgefallen …
warum Einstein die Terme $v_\phi^2/c^2$ mitgenommen hat, aber die Terme $v^2/c^2$ nicht.

Dr. Engelhardt,

seit Monaten zeigen Sie, wie man mit kalligrafischer Sorgfalt ein Pferd eloquent von hinten aufzieht, so daß der Matheallergiker staune.
Aber es scheint entgangen zu sein, daß nicht die „klassische“ Zeitdilatation „der y-Faktor ala SRT“ die Musik macht, sondern die gravitative Zeitdilatation, die letztendlich das Newtonsche Gesetz 1/r² mit *(1-1/r) „korrigiert“, in der Nähe einer Zentralmasse wirkt die Gravitation bei Einstein eben noch stärker als bei Newton und das bewirkt die Drehung des Perihels nach vorne – es ist die Zeit.

Und Gerber hat nicht die Periheldrehung, die im bekannt war, hergeleitet, sondern er hat eine Zusammenhang mit der ebenso bekannten LG gefriemelt.
Er hat die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation gesucht, nicht die von Gravitationswellen. Aber was breitet sich in einem statischen Gravitationsfeld, das immer „soda“ ist, einer unveränderlichen Zentralmasse Sonne überhaupt aus?
Schon sein Ansatz war Unsinn.

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#1549 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 18:39

Herr Senf schrieb am 28. März 2016, 17:53:

Dr. Wolfgang Engelhardt schrieb am 28. März 2016, 15:19:
… Die geschwindigheitsabhängige Masse ist also wiederum herausgefallen …
warum Einstein die Terme $v_\phi^2/c^2$ mitgenommen hat, aber die Terme $v^2/c^2$ nicht.

Dr. Engelhardt,

seit Monaten zeigen Sie, wie man mit kalligrafischer Sorgfalt ein Pferd eloquent von hinten aufzieht, so daß der Matheallergiker staune.
Aber es scheint entgangen zu sein, daß nicht die „klassische“ Zeitdilatation „der y-Faktor ala SRT“ die Musik macht, sondern die gravitative Zeitdilatation, die letztendlich das Newtonsche Gesetz 1/r² mit *(1-1/r) „korrigiert“, in der Nähe einer Zentralmasse wirkt die Gravitation bei Einstein eben noch stärker als bei Newton und das bewirkt die Drehung des Perihels nach vorne – es ist die Zeit.

Und Gerber hat nicht die Periheldrehung, die im bekannt war, hergeleitet, sondern er hat eine Zusammenhang mit der ebenso bekannten LG gefriemelt.
Er hat die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation gesucht, nicht die von Gravitationswellen. Aber was breitet sich in einem statischen Gravitationsfeld, das immer „soda“ ist, einer unveränderlichen Zentralmasse Sonne überhaupt aus?
Schon sein Ansatz war Unsinn.

Es ist mir doch keineswegs entgangen, dass Einstein das Newtonsche Potential mit dem Faktor $1+v_\phi^2/c^2=1+M^2/\left(m^2 r^2 c^2\right)=1+B^2/r^2$ modifiziert hat. Er hätte aber die Terme mit $v^2/c^2$ nicht vernachlässigen dürfen, denn sie leisten einen vergleichbaren Beitrag zur Periheldrehung wie die Modifikation des Newton-Potentials. Dies wird vollkommen klar, wenn man ein Teravolt-Teilchen der Höhenstrahlung betrachtet, welches auf einer geraden Geodäte in ein Gravitationszentrum stürzt. Es darf keine Überlichtgeschwindigkeit bekommen, was nur mit geschwindigkeitsabhängiger Masse geht, s. Kommentar # 1560. Wie wollen Sie sonst den Übergang von der ART zur SRT schaffen, wenn Sie in der ART keine geschwindigkeitsabhängige Masse zulassen, in der SRT aber schon. Pauli jedenfalls war das sonnenklar und ich denke auch Einstein. Beide haben nur vergessen, den Effekt bei der Periheldrehung einzubeziehen. Von Gleich hat ihn 1925 berücksichtigt und genau wie ich auch 14.5´´ / Jh herausbekommen.

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#1550 | Dr. Wolfgang Engelhardt | 28. März 2016, 19:03

Herr Senf schrieb am 28. März 2016, 17:53:

Und Gerber hat nicht die Periheldrehung, die im bekannt war, hergeleitet, sondern er hat eine Zusammenhang mit der ebenso bekannten LG gefriemelt.
Er hat die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation gesucht, nicht die von Gravitationswellen. Aber was breitet sich in einem statischen Gravitationsfeld, das immer „soda“ ist, einer unveränderlichen Zentralmasse Sonne überhaupt aus?
Schon sein Ansatz war Unsinn.

Ich bin übrigens kein Pferdezüchter und „ziehe“ Pferde weder von vorne noch von hinten auf :-).

Was Gerber wollte und wie er es gemacht hat, ist im Zusammenhang mit dem Plagiatsvorwurf gegenüber Einstein völlig egal. Fakt ist, dass er die Formel für die Periheldrehung 17 Jahre vor Einstein veröffentlicht hat, während Einstein diese Formel aus seinem Integral gar nicht herausbekam und statt dessen Gerbers Formel als Resultat hingeschrieben, oder besser abgeschrieben hat.

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